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Iben524
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Bonjour, je m'adresse aux utilisateurs pour la première fois en espérant obtenir de l'aide.

Aide pour devoir d''arithmétique Terminale S svpp!

On considère l''équation (1) d''inconnues (n ; m) éléments de Z² :
11n - 24m = 1.

1.
(a) Justifier, à l''aide de l''énoncé d''un théorème, que cette équation admet au moins une solution.
(b) En utilisant l''algorithme d''Euclide, déterminer une solution particulière de l''équation (1).

2. Recherche du PGCD de 10^11 - 1 et 10^24 - 1.
(a) Justifier que 9 divise 10^11 - 1 et 10^24 - 1.

(b) (n ; m) désignant un couple quelconque d''entiers naturels solutions de (1), montrer que l''on peut écrire:
(10^11n - 1) - (10^24m - 1) = 9.

(c) Montrer que 10^11 - 1 divise 10^11n - 1 .(on rappelle l''égalité an -1 = (a - 1) (an-1 + an-2 + ... + a0), valable pour
tout entier naturel n non nul). Déduire de la question précédente l''existence de deux entiers naturels N et M tels que :
(10^11 - 1) N - (10^24 - 1)M = 9.

(d) Montrer que tout diviseur commun à 10^11 - 1 et 10^24 - 1 divise 9

(e) Déduire des questions précédentes le PGCD de 10^11 - 1 et 10^24 - 1

thanks les gens!

Sagot :

1. On considère l’équation (1) d’inconnue (n, m) élément de 2 : 11n − 24m = 1

a. Le théorème de Bezout affirme que si 11 et 24 sont premiers entre eux, alors l'équation 11n − 24m = 1 a des solutions entières. Or 11 est premier et ne divise pas 24, donc 11 et 24 sont premiers entre eux.

b. On utilise l’algorithme d’Euclide : 24 = 11×2 + 2, 11 = 2×5 + 1. D'où 1 = 11 – 2×5 = 11 – (24 – 11×2)×5 = 11×11 – 5×24. Donc une solution particulière de l’équation (1) est (11; 5).

2. Recherche du PGCD de 1011 − 1 et 1024 − 1

a. On a 10 ≡ 1 (9), donc pour tout entier naturel n, 10n ≡ 1 (9), donc 1011≡ 1 (9), soit 1011-1≡ 0 (9), et 1024 ≡ 1 (9), soit 1024 − 1≡ 0 (9). Donc 9 divise 1011 − 1 et 1024 − 1.
 
b. (n, m) désignant un couple quelconque d’entiers naturels solutions de (1), alors 1011n = 101 + 24m .
Ainsi, (1011n − 1) − 10(1024m − 1) = 1011n − 1 − 1024m + 1 + 10 = 1011n − 1 − 1011n + 10 = 9
 
c. D'après l’égalité a n − 1 = (a − 1)(a n − 1 + a n − 2 + … + a 0 ), on peut écrire 1011n − 1 = (1011 − 1)(1011(n – 1) + 1011(n – 2) + … + 1), donc 1011 − 1 divise 1011n − 1.
De la même manière, 1024 − 1 divise 1024m − 1.
Soit 1011n − 1 = N(1011 − 1) et 1024m − 1 = M'(1024 − 1) alors de la relation (1011n − 1) − 10(1024m − 1) = 9, on déduit N(1011 − 1) − 10 M'(1024 − 1) = N(1011 − 1) M− (1024 − 1) = 9, avec 10M' = M.
Donc il existe deux entiers N et M tels que : (1011 − 1)N (− 1024 − 1)M = 9

d. Par le théorème de Bezout, l 'équation (1011 − 1)N (− 1024 − 1)M = 9 a des solutions si et seulement si le PGCD de 1024 − 1 et 1011 − 1 divise 9
Donc tout diviseur commun à 1024 − 1 et 1011 − 1 divise 9.

e. On a vu que le PGCD de 1024 − 1 et 1011 − 1 divise 9 et que 1024 − 1 et 1011 − 1 sont divisibles par 9, donc le P.G.C.D. de 1024 − 1 et 1011 − 1 est 9. 

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