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Chijoke327
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Je bloque sur ces deux questions, merci d'avance
Soit a et b 2 réels distincts et (un) la suite définie par ces 2 premiers termes u0 et u1 et la relation de récurrence pour tout n appartient à N, un+2=(a+b)un+1-abun
On définit les suites (vn) et (wn) par : pour tout n appartient à N, vn=un+1-bun et wn=un+1-aun
2. Donner une expression du terme général de la suite (un)
3. Utiliser le résultat précédent pour donner le terme général de la suite (Fn) définie par :
F0=0, F1=1 et pour tout n appartient à N, Fn+2=Fn+1+Fn

Sagot :

1) u(n+2)=(a+b).u(n+1)-ab.u(n) ; v(n)=u(n+1)-b.u(n)
v(n+1)=u(n+2)-b.u(n+1)
         =(a+b).u(n+1)-ab.u(n)-b.u(n+1)
         =a.u(n+1)-ab.u(n)
         =a(u(n+1)-b.u(n))
         =a.v(n)
donc (v) est une suite géométrique de raison a
donc v(n)=k.a^n

alors u(n+2)=(a+b).u(n+1)-ab.u(n)
donc u(n+2)-(a+b).u(n+1)+(ab).u(n)=0
a et b sont donc solution de l'équation X²-(a+b).X+(ab).1=0
on peut alors poser u(n)=α.a^n+β.b^n

2) étude de la suite particulière (Fn) de Fibonacci :
F(n+2)=F(n+1)+F(n) ; F(0)=F(1)=1
alors a et b sont solutions de l'équation : X²-X-1=0
donc a=(1-√5)/2 et b=(1+√5)/2
donc F(n)=α.((1-√5)/2)^n+β.((1+√5)/2)^n

or F(0)=F(1)=1
donc α+β=1 et α.((1-√5)/2)+β.((1+√5)/2)=1
donc α.((1-√5)/2)-((1+√5)/2)=1
donc α=-1/√5 et β=1/√5
donc F(n)=(1/√5).((1+√5)/2)^n-(1/√5).((1-√5)/2)^n



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