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Sagot :
Propriété : P(n) : "Pour tout entier n≥0 : n≤(3/2)^n"
Initialisation :
n=0 donne 0≤1 donc P(0) est vraie
n=1 donne 1≤3/2 donc P(1) est vraie
Hérédité :
on suppose qu'il existe un rang n≥2 tel que P(n) est vraie
donc n≤(3/2)^n
donc (3/2)*n≤(3/2)^n*(3/2)
donc 3n/2≤(3/2)^(n+1)
donc n/2+n≤(3/2)^(n+1)
donc 1+n≤n/2+n≤(3/2)^(n+1) [pour n≥2 on a 1≤n/2]
donc n+1≤(3/2)^(n+1)
donc P(n+1) est encore vraie
Conclusion : pour tout entier n∈IN : n≤(3/2^n
Initialisation :
n=0 donne 0≤1 donc P(0) est vraie
n=1 donne 1≤3/2 donc P(1) est vraie
Hérédité :
on suppose qu'il existe un rang n≥2 tel que P(n) est vraie
donc n≤(3/2)^n
donc (3/2)*n≤(3/2)^n*(3/2)
donc 3n/2≤(3/2)^(n+1)
donc n/2+n≤(3/2)^(n+1)
donc 1+n≤n/2+n≤(3/2)^(n+1) [pour n≥2 on a 1≤n/2]
donc n+1≤(3/2)^(n+1)
donc P(n+1) est encore vraie
Conclusion : pour tout entier n∈IN : n≤(3/2^n
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