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Sagot :
On considère un rectangle ABCD tel que AB=3 et
AD=2. On place un point M sur le segment [AB] tel que AM=x et un point N
sur le segment [BC] tel que BN=x.
• Calculer la longueur de MN en fonction de x.
MN²=MB²+BN²
MN²=(3-x)²+x²
MN²=2x²-6x+9
MN=√(2x²-6x+9)
• Soit u la fonction, qui a un réel x, appartenant à [0;2] associe 2(x-3/2)² + 9/2. Étudier les variations de u sur [0;2].
u'(x)=4(x-3/2)
u' s'annule en x=1,5
u' est négative si x<1,5 et positive si x>1,5
donc u est décroissante sur [0;1,5]
et u est croissante sur [1,5;2]
• En déduire pour quelle valeur de x la longueur MN est-elle minimale?
MN=√(2x²-6x+9)
MN=√(2(x²-3x)+9)
MN=√(2(x-3/2)²-9/2+9)
MN=√(2(x-3/2)²+9/2)
donc MN=√(u(x))
donc MN est minimal si x=1,5
cette longueur minimal vaut L=√(1,5)≈1,225
• Calculer la longueur de MN en fonction de x.
MN²=MB²+BN²
MN²=(3-x)²+x²
MN²=2x²-6x+9
MN=√(2x²-6x+9)
• Soit u la fonction, qui a un réel x, appartenant à [0;2] associe 2(x-3/2)² + 9/2. Étudier les variations de u sur [0;2].
u'(x)=4(x-3/2)
u' s'annule en x=1,5
u' est négative si x<1,5 et positive si x>1,5
donc u est décroissante sur [0;1,5]
et u est croissante sur [1,5;2]
• En déduire pour quelle valeur de x la longueur MN est-elle minimale?
MN=√(2x²-6x+9)
MN=√(2(x²-3x)+9)
MN=√(2(x-3/2)²-9/2+9)
MN=√(2(x-3/2)²+9/2)
donc MN=√(u(x))
donc MN est minimal si x=1,5
cette longueur minimal vaut L=√(1,5)≈1,225
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