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Sagot :
Propriété : P(n) : (1-1/2²) x (1-1/3²) x...x (1-1/n²) = (n+1)/(2n)
Initialisation :
si n=2 alors
(1-1/2²) x (1-1/3²) x...x (1-1/n²) =1-1/4=3/4
et (n+1)/(2n)=3/4
donc P(2à est vraie
Hérédité :
supposons que
(1-1/2²) x (1-1/3²) x...x (1-1/n²) = (n+1)/(2n)
donc
(1-1/2²) x (1-1/3²) x...x (1-1/n²) x (1-1/(n+1)²)= (n+1)/(2n) x (1-1/(n+1)²)
donc
(1-1/2²) x (1-1/3²) x...x (1-1/n²) x (1-1/(n+1)²)= (n+1)/(2n) x (n²+2n)/(n+1)²
donc
(1-1/2²) x (1-1/3²) x...x (1-1/n²) x (1-1/(n+1)²)= n(n+1)(n+2)/((2n)(n+1)²)
donc
(1-1/2²) x (1-1/3²) x...x (1-1/n²) x (1-1/(n+1)²)= (n+2)/(2(n+1))
donc P(n+1) est vraie
Conclusion :
Pour tout n ≥ 2 : (1-1/2²) x (1-1/3²) x...x (1-1/n²) = (n+1)/(2n)
Initialisation :
si n=2 alors
(1-1/2²) x (1-1/3²) x...x (1-1/n²) =1-1/4=3/4
et (n+1)/(2n)=3/4
donc P(2à est vraie
Hérédité :
supposons que
(1-1/2²) x (1-1/3²) x...x (1-1/n²) = (n+1)/(2n)
donc
(1-1/2²) x (1-1/3²) x...x (1-1/n²) x (1-1/(n+1)²)= (n+1)/(2n) x (1-1/(n+1)²)
donc
(1-1/2²) x (1-1/3²) x...x (1-1/n²) x (1-1/(n+1)²)= (n+1)/(2n) x (n²+2n)/(n+1)²
donc
(1-1/2²) x (1-1/3²) x...x (1-1/n²) x (1-1/(n+1)²)= n(n+1)(n+2)/((2n)(n+1)²)
donc
(1-1/2²) x (1-1/3²) x...x (1-1/n²) x (1-1/(n+1)²)= (n+2)/(2(n+1))
donc P(n+1) est vraie
Conclusion :
Pour tout n ≥ 2 : (1-1/2²) x (1-1/3²) x...x (1-1/n²) = (n+1)/(2n)
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