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Kami594
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Bonjour,
Je suis en Terminal S spé math, et mon professeur nous a donné un exercice assez difficile, voici l’énoncer:
Soit (Un) une suite croissante de limite l. On pose Vn=(U1+.....+Un)/n
1) Montrer que (Vn) croissante.
2) Etablir que V2n > ou égale à (Un+Vn)/2
3) En déduire que Vn --> l.
1) Voilà où j'en suis:
Vn+1 - Vn= 1/(n+1)n ( n (somme de n+1, avec k=1)Uk - (n+1)(somme de n, avec k=1)Uk
Je bloque ici.
Si vous pourriez juste m'expliquer comment il faut faire pour la suite de la question 1, ainsi que la 2 et 3 je veux pas les réponses, juste les explications.
Merci d'avance.

Sagot :

Il s'agit de la croissance d'une suite "en moyenne de Césaro"

Soit (Un) une suite croissante de limite l. On pose Vn=(U1+.....+Un)/n
1) Montrer que (Vn) croissante.
V(n+1)-V(n)=(U(1)+...+U(n+1))/(n+1)-(U(1)+...+U(n))/n
           =((n-n-1)(U(1)+...+U(n))+nU(n+1))/(n²+n)
           =(nU(n+1)-(U(1)+...+U(n))/(n²+n)
           =((U(n+1)-U(1))+(U(n+1)-U(2)+...+(U(n+1)-U(n))/(n²+n)
or (Un) est croissante donc U(n+1)>U(p) pour p=1,2,3...,n
donc U(n+1)-U(p)>0 pour p=1,2,3...,n
donc (U(n+1)-U(1))+(U(n+1)-U(2)+...+(U(n+1)-U(n))>0
donc V(n+1)-V(n)>0
donc (Vn) est croissante

2) Etablir que V2n > ou égale à (Un+Vn)/2
V(2n)=(U(1)+.....+U(n)+U(n+1)+...+U(2n))/(2n)
=(U(1)+...+U(n))/(2n)+(U(n+1)+...+U(2n))/(2n)
=1/2*V(n)+(U(n+1)+...+U(2n))/(2n)
≥1/2*V(n)+(U(n)+U(n)+...+U(n))/(2n) car (Un) est croissante
≥1/2*V(n)+(n.U(n))/(2n)
≥1/2*V(n)+1/2*U(n)
≥(U(n)+V(n))/2
donc V(2n)≥(U(n)+V(n))/2

3) En déduire que Vn --> l.
(Vn) est croissante et minorée par (U(0)+V(0))/2
donc (Vn) est convergente vers une limite l

Rque : on montre que si lim(U)=l alors lim(V)=l


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