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Bonjour à tous. J'aurai besoin que quelqu'un me corrige cette exercice s'il vous plaît.
Voici l'énoncé:
On considère la matrice:
A= 1 1 1
-6 0 5
0 1 2
a) Calculer A2et A3.
b) Montrez que A3-3A2+3A=I3
c) En déduire que A est inversible et déterminer les réels a, b et c tels que: A-1=aA2+ bA+ cI3.
d) En utilisant la question précédente, montrer que:
A-1= -5 -1 5
12 2 -11
-6 -1 6
e) Résoudre alors le système:
A multiplié par la matrice (x,y,z)= à la matrice -2 2 -1 ( cette dernière matrice est de dimension (3,1))
Mes réponses:
a) A2=
-5 2 8
-6 -1 4
-6 2 9
A3=
-17 3 21
0 -2 -3
-18 3 22
b) 3A2=
-15 6 24
-18 -3 12
-18 6 27
et
3A=
3 3 3
-18 0 15
0 3 6
donc
A3- 3A2 + 3A =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Donc A3 - 3A2 +3A = I3
c) Oui, la matrice carré A est bien inversible puisqu'il existe une matrice B tel que A X A = I3.
Je ne sais pas comment déterminer les réels a, b et c !
d) A-1 ?
Est-ce-que c'est bien ça qu'il faut faire:
1 1 1 a d g 1 0 0
-6 0 5 X b e h = 0 1 0
0 1 2 c f i 0 0 1
1a+1b+1c=1
1d+1e+1f=0
1g+1h+1i=0
-6a+0b+5c=0
-6d+0e+5f=1
-6g+0h+5i=0 .....
e)
1 1 1 x -2
-6 0 5 X y = 2
0 1 2 z 1
Et on fait S = A-1 X B
S=
13
-31
16
Si quelqu'un peut m'expliquer ce que je doit faire dans les questions c) et d) puisque je suis sûre que mes résultats sont faux.
Merci beaucoup d'avance.

Sagot :

Bonsoir Zewde850

[tex]a)\ A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\ -6 & 0 & 5\\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix}\\\\A^2=A\times A=\begin{pmatrix}-5 & 2 & 8\\ -6 & -1 & 4\\ -6 & 2 & 9\end{pmatrix}\\\\A^3=A^2\times A=\begin{pmatrix}-17 & 3 & 21\\ 0 & -2 & -3\\ -18 & 3 & 22\end{pmatrix}[/tex]

[tex]b)\ A^3-3A^2+3A\\\\=\begin{pmatrix}-17 & 3 & 21\\ 0 & -2 & -3\\ -18 & 3 &22\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}-5 & 2 & 8\\ -6 & -1 & 4\\ -6 & 2 & 9\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\ -6 & 0 & 5\\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix}\\\\=\begin{pmatrix}-17 & 3 & 21\\ 0 & -2 & -3\\ -18 & 3 & 22\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-15 & 6 & 24\\ -18 & -3 & 12\\ -18 & 6 & 27\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3 & 3 & 3\\ -18 & 0 & 15\\ 0 & 3 & 6\end{pmatrix}\\\\=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0& 1\end{pmatrix}\\\\=I_3[/tex]

[tex]c)\ A^3-3A^2+3A=I_3\Longleftrightarrow A\times\boxed{(A^2-3A+3I_3)}=I_3\\A^3-3A^2+3A=I_3\Longleftrightarrow \boxed{(A^2-3A+3I_3)}\times A=I_3[/tex]

Il existe donc une matrice B telle que A x B = B x A = I₃ avec [tex]B = A^2-3A+3I_3[/tex]

Par conséquent, cette matrice B est l'inverse de la matrice A.

D'où [tex]A^{-1} = A^2-3A+3I_3[/tex]
Les réels a, b et c sont  a = 1 ; b = -3 ; c = 3.

[tex]d)\ A^{-1} = A^2-3A+3I_3\\\\A^{-1} =\begin{pmatrix}-5 & 2 & 8\\ -6 & -1 & 4\\ -6 & 2 & 9\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\ -6 & 0 & 5\\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0& 1\end{pmatrix} \\\\A^{-1} =\begin{pmatrix}-5 & 2 & 8\\ -6 & -1 & 4\\ -6 & 2 & 9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3 & 3 & 3\\ -18 & 0 & 15\\ 0 & 3 & 6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3&0&0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0& 3\end{pmatrix}\\\\A^{-1}=\begin{pmatrix} -5& -1 &5 \\ 12 & 2 & -11\\ -6 & -1 & 6\end{pmatrix}[/tex]

[tex]e)\ A\times\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\ 2\\ -1\end{pmatrix}\\\\\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=A^{-1}\times\begin{pmatrix}-2\\ 2\\ -1\end{pmatrix}\\\\\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5& -1 &5 \\ 12 & 2 & -11\\ -6 & -1 & 6\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-2\\ 2\\ -1\end{pmatrix}\\\\\\\boxed{\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\ -9\\ 4\end{pmatrix}}[/tex]
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