Bonjour j'ai un exercice sur la fonction exponentielle que je ne comprend pas je voudrais des conseils la voici:
Exercice 1 Calcul de la distance de la courbe C exp à un point
Le plan est muni d'un repère orthonormé. On note C exp la courbe représentative de la fonction exponentielle et P le point de coordonnées (3,2).
L'objectif du problème est de déterminer la distance de la courbe C exp au point P, c'est à dire la valeur minimale de PM lorsque M parcourt C exp.
1.Conjectures
On note A le point de la courbe C exp le plus proche de P. Représenter approximativement A, le segment [AP] et la tangente à C exp en A.
Emettre trois conjectures:
(a)sur les coordonnées de A
(b)sur la distance de P à C exp à 0,1 près
(c)sur (AP) et la tangente en A à C exp
3.Etude de l'équation (E): x-3-2e^x+e^2x=0
a/Montrer que pour tout x réel, g(x)=x-3+e^x(e^x-2).
b/Calculer les limites de g en +00 et -00.
c/Montrer que g est dérivable sur R et que g'(x)=2(e^x-1/2)²+1/2.
d/Dresser le tableau de variation complet de g.
e/Montrer que l'équation (E) admet une solution unique a sur R.
f/A l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de a à 10^-0 près.
g/Justifier le tableau de signes suivant:
x -00 a +00
g(x) - 0 +
4.Variations de la fonction auxiliaire f: R?,x?x²-6x+13-4e^x+e^2x.
a/Montrer que f est dérivable sur R et que f'(x)=2g(x).
b/Calculer lim f(x)
x?-00
c/Montrer que f(x)=e^2x(1+13e^-2x+(xe^-x)²-6xe^(-x)-4e^-x) pour tout réel x et en déduire lim f(x).
x?+00
d/Déduire de la question 3 le tableau de variations complet de f. On donnera une valeur approchée à 0,01 près du minimum.
5.Etude géométrique.
Soit x réel et M(x,e^x) appartient C exp. Soit A le point de C exp d'abscisse a définie à la question e/.
a/Démontrer que pour tout x appartient R, PM=?f(x). Déduire de la question 4 que PM est minimale pour M=A. En déduire une approximation de la distance de P à C exp.
b/Valider ou infirmer les conjectures (a) et (b) de la question 1.
c/Donner, en fonction de a, l'équation de la tangente T à C exp au point (a,e^a).
d/Exprimer, en fonction de a, les coordonnées des vecteurs Vect (PA) et Vect (BA) ou B est le point de la droite T d'abscisse a-1.
e/Monter que PA(Vecteur).BA(Vecteur)=g(a) et valider la conjecture (c) de la question 1
b/