Soit n un entier naturel dont le nombre des dizaines est d et le nombre des unités est u.
donc n=10d+u
Soit n' = d+2u
1) Démontrer l'équivalence entre les deux propriétés :
"n est divisible par 19" "n' est divisible par 19"
n est divisible par 19 donc il existe un entier a tel que n=19a
donc 10d+u=19a
donc d+2u=(10d+u)-(9d-u)=19a-9d+19a-10d
donc n=d+2u=38a-19d
donc n=19(2a-d)
donc n est divisible par 19
2) En utilisant plusieurs fois cette équivalence, étudier si le nombre 29 431 est divisible par 19.
n=10d+u avec d=2943 et u=1
n'=2943+2=2945
n=2945=10d+u avec d=294 et u=5
n'=294+10=304
n=10d+u avec d=30 et u=4
n'=30+8=38
n'=2*19 est divisible par 19
donc n=29 431 est divisible par 19
en effet : 29 431=19 x 1549
