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Bonjour,
Voilà un exercice qui me pose problème :
f est la fonction définie par f(x)=racine(x^3-x+1).
Je dois dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses et justifier à chaque fois ma réponse.
1. L'équation x^3-x+1=0 a une unique solution alpha.
2. La fonction f est dérivable sur ]alpha;+l'infini[.
3. m est un réel positif. Il existe des valeurs de m pour lesquelles l'équation f(x)=m a trois solutions.
Où j'en suis : la question 1. est faite. J'ai nommé l'équation x^3-x+1 g(x). J'ai dérivé g(x), j'obtiens "3x²-1". J'ai résolu g(x)>0 pour savoir son signe puis j'ai tracé le tableau de variation de g. Elle croissante, décroissante et croissante. J'ai ciblé l'intervalle dans lequel alpha est inclus et j'ai expliqué qu'alpha n'appartenait pas à l'autre intervalle. J'ai utilisé le corrollaire du TVI et j'ai encadré alpha.(il est compris entre -1 et -2).
Pour la 2. : J'ai dérivé, mais comment prouver qu'elle est dérivable?
Pour la 3. : faut-il poser une valeur de m? cela suffit-il?
Merci et bon dimanche!

Sagot :

f est la fonction définie par f(x)=√(x^3-x+1).

1. L'équation x^3-x+1=0 a une unique solution α.
g(x)=x³-x+1
g'(x)=3x²-1
g est croissante sur ]-∞;-√(1/3)] et sur [√(1/3;+∞[
g est décroissante sur [-√(1/3):√(1/3]
donc sur [-2;-1]
* g est continue
* g est croissante
* g change de signe
d'après le th des valeurs intermédiaires, l'équation g(x)=0 possède une solution unique α∈[-2;-1]
donc VRAI

2. La fonction f est dérivable sur ]α;+∞[.
f(x)=√(g(x))
alors f est dérivable sur D={x∈ IR / g(x)>0}
donc f est dérivable sur ]α;+∞[.
donc VRAI

 3. m est un réel positif. Il existe des valeurs de m pour lesquelles l'équation f(x)=m a trois solutions
pour m=3/4 on vérifie qu'il y a 3 solutions à l'équation f(x)=5/6
en effet, l'équation √(x^3-x+1)=5/6 donne
x≈-1,1274... ou x≈0,3475... ou x≈0,7798...
donc VRAI

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