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Bonjour à tous, je suis en 3ème et j'ai un exercice difficile: on considère un triangle rectangle formé par une falaise(le coté opposé de l'angle),l'hypoténuse c'est la longueur constituée par la position d' un bateau au large( le point I et O quand le bateau recule de 64 m) et le haut de la falaise(point S);le point H est le point bas de la falaise(et aussi l'angle droit) :on nous demande de calculer la hauteur h, de la falaise. Voici l'énoncé: la mesure de l'angle SIH est 34°,celle de l'angle SOH est 25°;1)a)exprimer tan SIH en fonction de h et de x(IH).b)exprimer tan SOH en fonction de h et de x; c) en déduire deux expressions de h en fonction de x.
2)a)En utilisant le résultat de la question 1)c),exprimer x en fonction de tan 34°et de tan 25°.b)en déduire la hauteur h de la falaise. Arrondir au dm.

Sagot :

Bonsoir  Addae618

Figure en pièce jointe.

1)a) Exprimer tan SIH en fonction de h et de x

[tex]\tan(\widehat{SIH})=\dfrac{SH}{IH}\\\\\boxed{\tan(\widehat{SIH})=\dfrac{h}{x}}[/tex]

b) Exprimer tan SOH en fonction de h et de x
 
[tex]\tan(\widehat{SOH})=\dfrac{SH}{OH}\\\\\boxed{\tan(\widehat{SOH})=\dfrac{h}{64+x}}[/tex]

c) En déduire deux expressions de h en fonction de x.

[tex]\tan(\widehat{SIH})=\dfrac{h}{x}\Longrightarrow \boxed{h=x\times\tan(\widehat{SIH})}\\\\\tan(\widehat{SOH})=\dfrac{h}{64+x}\Longrightarrow \boxed{h=(64+x)\times\tan(\widehat{SOH})}[/tex]

2)a) En utilisant le résultat de la question 1)c), exprimer x en fonction de tan 34°et de tan 25°.

[tex]h=x\times\tan(\widehat{SIH})\ \ et\ \ h=(64+x)\times\tan(\widehat{SOH})\\\\\Longrightarrow x\times\tan(\widehat{SIH})=(64+x)\times\tan(\widehat{SOH})\\\\\Longrightarrow x\times\tan(34^o)=(64+x)\times\tan(25^o)\\\\\Longrightarrow x\times\tan(34^o)=64\times\tan(25^o)+x\times\tan(25^o)\\\\\Longrightarrow x\times\tan(34^o)-x\times\tan(25^o)=64\times\tan(25^o)\\\\\Longrightarrow x\times(\tan(34^o)-\tan(25^o))=64\times\tan(25^o)\\\\\Longrightarrow \boxed{x=\dfrac{64\times\tan(25^o)}{\tan(34^o)-\tan(25^o)}}[/tex]

b) En déduire la hauteur h de la falaise. Arrondir au dm.

[tex]h=x\times\tan(\widehat{SIH})\\\\h=x\times\tan(34^o)\\\\h=\dfrac{64\times\tan(25^o)}{\tan(34^o)-\tan(25^o)}\times\tan(34^o)\\\\\boxed{h\approx96,7\ m\ \ (arrondi\ \ au\ \ dm)}[/tex]

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