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Sagot :
b) On a 0≤Uo≤1 c'est vrai au rang 0
Supposons qu'au rang n on ait 0≤Un≤1
Alors Un+1≥0 et Un+3≥0 donc (Un+1)/(Un+3)≥0 d'où Un+1≥0
D'autre part :
Un+3≤4
1/(Un+3)≥1/4
-1/(Un+3)≤-1/4
-2/(Un+3)≤-1/2
1-2/(Un+3)≤1/2<1
Donc Un+1≤1
Donc quelque soit n 0≤Un≤1
c) attention f'(x)=2/(x+3)² et non 2. Donc >0
d) U1=1/2≤Uo c'est vrai au rang 0
Supposons qu'on ait au rang n Un+1≤Un
Comme f est strictement croissante on a :
f(Un+1)≤f(Un)
Or Un+1=f(Un)
Donc Un+2≤Un+1
Donc Un est décroissante
Supposons qu'au rang n on ait 0≤Un≤1
Alors Un+1≥0 et Un+3≥0 donc (Un+1)/(Un+3)≥0 d'où Un+1≥0
D'autre part :
Un+3≤4
1/(Un+3)≥1/4
-1/(Un+3)≤-1/4
-2/(Un+3)≤-1/2
1-2/(Un+3)≤1/2<1
Donc Un+1≤1
Donc quelque soit n 0≤Un≤1
c) attention f'(x)=2/(x+3)² et non 2. Donc >0
d) U1=1/2≤Uo c'est vrai au rang 0
Supposons qu'on ait au rang n Un+1≤Un
Comme f est strictement croissante on a :
f(Un+1)≤f(Un)
Or Un+1=f(Un)
Donc Un+2≤Un+1
Donc Un est décroissante
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