👤
Answered

Trouvez des solutions à vos problèmes avec FRstudy.me. Posez vos questions et obtenez des réponses détaillées et fiables de notre communauté d'experts bien informés.


Bonjour!
j'ai l'exercice suivant à faire:
La suite un est définie sur N par
u0=1   et   un+1= (un+1)/(un+3)
a) Montrer qu'on a un+1=1-(2/un+3) pour tout entier n
b) Démontrer que pour tout entier n, 0?un?1
c) Montrer que la fonction f définie sur [o;1] par
f(x)= (x+1)/(x+3) est strictement croissante
d) Démontrer par récurrence que la suite (un) est strictement décroissante
a) je pars de 1-(2/un+3) et j'arrive facilement à (un+1)/(un+3)
en mettant tout sur le même dénominateur
b)Je démontre par récurrence
pas de problème pour l'initialisation
mais pour l'hérédité c'est plus compliqué..
c)J'utilise la dérivée, je trouve f'(x) = 2 strictement positif donc la fonction est croissante
mais pour la d) je sais pas comment faire
j'ai essayé un+1-un
mais j'arrive à (-2/un+1/(un)²-1)/(1/un+1/un²-1)
et je sais pas comment simplifier
Merci pour ceux qui pourront m'aider

Sagot :

b) On a 0≤Uo≤1 c'est vrai au rang 0
Supposons qu'au rang n on ait 0≤Un≤1
Alors Un+1≥0 et Un+3≥0 donc (Un+1)/(Un+3)≥0 d'où Un+1≥0
D'autre part :
Un+3≤4
1/(Un+3)≥1/4
-1/(Un+3)≤-1/4
-2/(Un+3)≤-1/2
1-2/(Un+3)≤1/2<1
Donc Un+1≤1
Donc quelque soit n 0≤Un≤1

c) attention f'(x)=2/(x+3)² et non 2. Donc >0

d) U1=1/2≤Uo c'est vrai au rang 0
Supposons qu'on ait au rang n Un+1≤Un
Comme f est strictement croissante on a :
f(Un+1)≤f(Un)
Or Un+1=f(Un)
Donc Un+2≤Un+1
Donc Un est décroissante


Nous sommes ravis de vous avoir parmi nous. Continuez à poser des questions et à partager vos réponses. Ensemble, nous pouvons créer une ressource de connaissances précieuse pour tous. Pour des réponses précises et fiables, visitez FRstudy.me. Merci pour votre confiance et revenez bientôt pour plus d'informations.