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Bonjour,
Voici l'exercice que j'ai a faire, merci par avance pour votre aide
Un insecticide est pulvérisé dans une pièce dans laquelle une fenêtre est ouverte.
L'évolution du taux de gaz dans l'air peut être modélisé grâce à la fonction f définie  sur l'intervalle [0;100] par :
f(x)= 3x/3x^2+1
où x est le nombre de minutes écoulées depuis la pulvérisation et f(x) le taux de gaz dans l'air exprimer en parties pour million (ppm).
1) Montrer que pour tout x appartenant à l'intervalle [0;100], f'(x)= -9x^2+3/ (3x^2+1)^2
Voici ce que j'ai fait: j'utilise la formule u'v-uv'/ v^2 avec u= 3x, u'=3, v= 3x^2+1 et v'=3
Ce qui donne: 3x 3x^2+1- 3x-3 / (3x^2+1)^2
Mais je ne trouve pas -9x^2+3/ (3x^2+1)^2 mais 9x^2+1-9x/ (3x^2+1)^2
2) Dresser le tableau de variation de f sur [0;100]. On pourra arrondir les valeurs du tableau à 0,01 près.
3) Déterminer le nombre de solutions de l'équation f(x)= 0,65 dans l'intervalle [0;100].
4) On considère que le gaz a une odeur désagréable si le taux dépasse 0,65ppm pendant plus d'une minute. Déterminer si l'insecticide à été désagréable .
Je n'ai pas pu faire les questions 2,3 et 4 car je n'ai pas réussi à trouver la solution de la question 1... Merci par avance pour votre aide

Sagot :

1) f'(x)=[3(3x²+1)-3x(6x)]/(3x²+1)²=(9x²+3-18x²)/(3x²+1)²=(3-9x²)/(3x²+1)²

2) f'(x)≥0 ⇔3-9x²≥0 ⇔ 3x²≤1 ⇔ -1/√3≤x≤1/√3
Donc sur [0;100]
x        0                                    1/√3                              100
f'(x)                        +                                        -
f(x)                  croissante                      décroissante

3) f(x)=0,65
3x=0,65(3x²+1)
⇔1,95x²-3x+0,65=0
Δ=3²-4x1,95x0,65=3,93>0
x1=(3+√3,93)/3,9≈1,28
x2=(3-√3,93)/3,9≈0,26
Donc 2 solutions et les 2 solutions sont dans [0;100]

4) On calcule x1-x2≈1,02 > 1 donc l'insecticide a été désagréable

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