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Sagot :
n!=n(n-1)...2*1
donc pour tout entier n : n! ≥ 2^(n-1)
(chaque valeur de n! est minorée par 2)
donc 1/n! ≤ 1/(2^(n-1))
donc S(n)=1+1/2+1/6+...1+1/n! ≤ 1+somme(1/(2^(k-1))
donc S(n) ≤ 1+(1-(1/2)^n)/(1-1/2)
donc S(n) ≤ 1+2*(1-1/2^n)
donc S(n) < 1+2*(1-0)
donc S(n) < 3
donc (S(n)) est majorée par 3
de plus (S(n)) est clairement croissante
donc la suite (S(n)) converge vers L
or e^x=1+x/2+x²/6+...+x^n/n!+o(x^n)
donc si n tend vers +∞et si x=1 on obtient :
lim(S(n))=e^1=e
donc pour tout entier n : n! ≥ 2^(n-1)
(chaque valeur de n! est minorée par 2)
donc 1/n! ≤ 1/(2^(n-1))
donc S(n)=1+1/2+1/6+...1+1/n! ≤ 1+somme(1/(2^(k-1))
donc S(n) ≤ 1+(1-(1/2)^n)/(1-1/2)
donc S(n) ≤ 1+2*(1-1/2^n)
donc S(n) < 1+2*(1-0)
donc S(n) < 3
donc (S(n)) est majorée par 3
de plus (S(n)) est clairement croissante
donc la suite (S(n)) converge vers L
or e^x=1+x/2+x²/6+...+x^n/n!+o(x^n)
donc si n tend vers +∞et si x=1 on obtient :
lim(S(n))=e^1=e
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