L'équation générale d'une tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse a est :
y=f'(a)(x-a)+f(a)
Pour la parabole f'(x)=2x
Pour l'hyperbole f'(x)=-1/x²
Supposons qu'il existe un point d'abscisse a tel que la tangente T à la parabole soit tangente à l'hyperbole.
a≠0 car alors T : y=0 qui n'est pas tangente à l'hyperbole.
T a pour équation : y=2a(x-a)+a²=2ax-a²
On cherche l'intersection de T et de l'hyperbole :
1/x=2ax-a²
Soit 1=2ax²-a²x ⇔ 2ax²-a²x-1=0
Pour que T soit tangente il faut un seul point d'intersection soit que 2ax²-a²x-1=0 ait une racine double
Il faut donc que Δ=(a²)²+4*2a*1=a^4+8a=0
Δ=a(a³+8)=0
Comme a≠0 a³+8=0 soit a=-2
Donc la droite T : y=2*(-2)*x-(-2)² soit y=-4x-4 est à la fois tangente à al parabole x² et à l'hyperbole 1/x
