Posons a,b,c,d,e les 5 valeurs de le suite (x(i)) avec i=1,2,3,4,5
alors, par hypothèse : S'=a²+b²+c²+d²+e²=1
posons S=a+b+c+d+e
alors la moyenne arithmétique de la suite (x(i)) vérifie :m=S/5
donc S=a+b+c+d+e=5m
et la variance de la suite (x(i)) vérifie : V=1/5*S'-m²
donc V=1/5-m²=1/5-S²/25
or S²≥9/2 donc S²≥9/50 donc V≤1/50
de plus V=1/5.somme((x(i)-m)²)
par ailleurs : min(x(i)-x(j))² ≤ (x(i)-x(j))² pour tout i≠j
donc min(x(i)-x(j))² ≤ (x(i)-x(j))² ≤ (x(i)-m)²
donc min(x(i)-x(j))² ≤ 5.somme((x(i)-m)²)
donc min(x(i)-x(j))² ≤ 5.V
donc min(x(i)-x(j))² ≤ 5.1/50
donc min(x(i)-x(j))² ≤ 1/10
