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Kintu550
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Bonjour,
Dans un triangle quelconque d'angles A, B et C, montrer que :
sin A + sin B + sin C = 4 cos (A/2) * cos (B/2) * cos (C/2).
J'ai exprimé sin A comme sin (2 * A/2),
sin B comme sin (2 * B/2), etc...
Puis sin (A/2) = sin [(pi - B - C) / 2]
sin (B/2) = sin [(pi - A - C) / 2] et j'utilise les
formules d'addition.
Mais ça n'aboutit pas. Avez-vous une idée ?
Merci.

Sagot :

Bonsoir Kintu550

[tex]\sin a+\sin b+\sin c=(\sin a+\sin b)+\sin c\\\\\sin a+\sin b+\sin c=2\sin\dfrac{a+b}{2}\cos\dfrac{a-b}{2}+2\sin\dfrac{c}{2}\cos\dfrac{c}{2}\\\\\sin a+\sin b+\sin c=2\cos\dfrac{c}{2}\cos\dfrac{a-b}{2}+2\sin\dfrac{c}{2}\cos\dfrac{c}{2}\\\\\sin a+\sin b+\sin c=2\cos\dfrac{c}{2}(\cos\dfrac{a-b}{2}+\sin\dfrac{c}{2})\\\\\sin a+\sin b+\sin c=2\cos\dfrac{c}{2}(\cos\dfrac{a-b}{2}+\cos\dfrac{a+b}{2})[/tex]

[tex]sin a+\sin b+\sin c=2\cos\dfrac{c}{2}\times2\cos\dfrac{\dfrac{a-b}{2}+\dfrac{a+b}{2}}{2}\cos\dfrac{\dfrac{a-b}{2}-\dfrac{a+b}{2}}{2}\\\\sin a+\sin b+\sin c=4\cos\dfrac{c}{2}\cos\dfrac{a}{2}\cos(\dfrac{-b}{2})\\\\sin a+\sin b+\sin c=4\cos\dfrac{c}{2}\cos\dfrac{a}{2}\cos\dfrac{b}{2}\\\\\boxed{\sin a+\sin b+\sin c=4\cos\dfrac{a}{2}\cos\dfrac{b}{2}\cos\dfrac{c}{2}}[/tex]
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