Bonjour,
Soit f une application d'un ensemble E non vide dans un ensemble F non vide également.
On dit :
- Que f est injective, lorsqu'on a l'équivalence :
[tex]\forall \left(x,y\right)\in E^2, f\left(x\right) = f\left(y\right) \iff x = y[/tex]
Autrement dit, deux éléments distincts de E ont des images différentes par f.
- Que f est surjective, lorsqu'on a :
[tex]\forall y\in F, \exists x\in E, y = f\left(x\right)[/tex]
Autrement dit, tout élément de F admet au moins un antécédent dans E (attention, il peut y en avoir plusieurs !)
-Que f est bijective lorsque f est à la fois injective et surjective.
On a alors :
[tex]\forall y \in F, \exists ! x\in E, y = f\left(x\right)[/tex]
Comme exercice, on peut proposer ceci.
On définit les applications suivantes.
[tex]\phi:\begin{array}{ccc}\mathbb{R} &\rightarrow& \left[0;+\infty\right[\\
x&\mapsto&x^2\\
\end{array}\\
\psi:\begin{array}{ccc}\mathbb{R} &\rightarrow& \left[0;+\infty\right[\\
x&\mapsto&e^x\end{array}[/tex]
Montrer que φ est surjective et que ψ est bijective.
Si tu as des questions, n'hésite pas ! =)
