soit m un complexe tel que : z²+2mz+1=0 ,
notons z* le conjugué de z
donc Δ=4m²-4=4(m²-1)
donc a=(-2m-2√(m²-1))/2=-m-√(m²-1)
et b=-m+√(m²-1)
donc (a+m)²=(m-1)(m+1) et (b+m)²=(m-1)(m+1)
donc |a+m|²=|m²-1| et |b+m|²=|m²-1|
donc (a*+m*)(a+m)=a*m+am*+|a|²+|m|²=|m²-1|
et (b*+m*)(b+m)=b*m+bm*+|b|²+|m|²=|m²-1|
par somme on déduit :
|a|²+|b|²+2|m|²+(a+b).m*+(a*+b*).m=2|m²-1|
or a et b sont racines de z²+2mz+1=0
donc a+b=-2m et a*+b*=-2m*
donc (a+b).m*=-2|m|² et (a*+b*).m=-2|m|²
donc |a|²+|b|²+2|m|²-4|m|²=2|m²-1|
donc |a|²+|b|²-2|m|²=2|m²-1|
donc |a|²+|b|²=2|m²-1|+2|m|²
par ailleurs :
(|m-1|+|m+1|)²=|m-1|²+|m+1|²+2.|m²-1|
=(m-1)(m*-1)+(m*+1)(m*+1)+2.|m²-1|
=|m|²-(m+m*)+1+|m|²+(m+m*)+1+2.|m²-1|
=2.|m|²+2+2.|m²-1|
donc on obtient :
|a|²+|b|²=(|m-1|+|m+1|)²-2
donc |a|²+|b|²+2=(|m-1|+|m+1|)²
or a et b sont racines de z²+2mz+1=0
donc ab=1 donc |ab|=1 donc |a|.|b|=1
donc |a|²+|b|²+2|a|.|b|=(|m-1|+|m+1|)²
donc (|a|+|b|)²=(|m-1|+|m+1|)²
or il s'agit de termes strictement positifs
donc |a|+|b|=|m-1|+|m+1|
