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Sur les côtés d'un carré ABCD de côté 4 cm, on place les points M, N, P, R, S, T et u comme indiqués sur le dessin : AM=BN=BP=CQ=CR=DS=DT=AU=x, avec 0 < x < 2.
On admet que les quadrilatères AMEU, NBPF, THSD, GQCR et EFGH sont des carrés.
On note f (x) l'aire du domaine coloré.
1. Montrer que f (x) 8xau carré - 16x+16.
2. Calculer, en détaillant, la valeur exacte de f (racine carré de 2 ).
3. Montrer que f (x) = (2x-1)(4x-6)+10.

Sagot :

Bonjour Mukasa911

1) Les carrés AMEU, NBPF, THSD, GQCR ont des côtés de longueur x.
L'aire de chacun de ces carrés est égale à x².
L'aire totale de ces 4 carrés est donc égale à 4x².

Le carré EFGH a des côtés de longueur (4 - 2x).
L'aire de ce carré est égale à (4 - 2x)²

L'aire de la partie coloriée est donc égale à
f(x) = 4x² + (4 - 2x)²
f(x) = 4x² + 4² - 2*4*2x + (2x)²
f(x) = 4x² + 16 - 16x + 4x²
f(x) = 8x² - 16x + 16

2) Valeur exacte de f(racine carré de 2).

[tex]f(x) = 8x^2 - 16x + 16\\\\f(\sqrt{2}) = 8(\sqrt{2})^2 - 16\sqrt{2} + 16\\\\f(\sqrt{2}) = 8\times2 - 16\sqrt{2} + 16\\\\f(\sqrt{2}) = 16 - 16\sqrt{2}+16\\\\\boxed{f(\sqrt{2}) = 32 - 16\sqrt{2}}[/tex]

3) Montrer que f (x) = (2x-1)(4x-6)+10.

Développons  (2x - 1)(4x - 6) + 10.
(2x - 1)(4x - 6) + 10 = (2x) * (4x) - 2x * 6 - 1 * 4x - 1 * (-6)
(2x - 1)(4x - 6) + 10 = 8x² - 12x - 4x + 6
(2x - 1)(4x - 6) + 10 = 8x² - 16x + 6
(2x - 1)(4x - 6) + 10 = f(x)

D'où f(x) = (2x - 1)(4x - 6) + 10

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