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Sagot :
1.déterminer un polynôme P de degré 2 tel que:
P(x+1)-P(x)=2x et P(0)=0
P(x)=ax²+bx+c
P(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c
=a(x²+2x+1)+bx+b+c
=a.x²+(2a+b)x+(a+b+c)
P(x+1)-P(x)=(2a)x+(a+b)
donc 2a=2 et a+b=0
donc a=1 et b=-1
donc P(x)=x²-x
2. en déduire la somme des n premiers nombres entiers pairs non nul: S=2+4+...2n
S=2*1+2*2+...+2*n
=(P(2)-P(1))+(P(3)-P(2))+...+(P(n+1)-P(n))
=P(n+1)-P(1)
=(n+1)²-(n+1)-(0)
=n²+2n+1-n-1
=n(n+1)
3. en déduire la somme des n premiers nombres entiers non nuls.
S'=1+2+3+...+n
S=2+4+6+...+2n
donc S=2*S'
donc S=1/2*n(n+1)
donc 1+2+3+...+n=n(n+1)/2
P(x+1)-P(x)=2x et P(0)=0
P(x)=ax²+bx+c
P(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c
=a(x²+2x+1)+bx+b+c
=a.x²+(2a+b)x+(a+b+c)
P(x+1)-P(x)=(2a)x+(a+b)
donc 2a=2 et a+b=0
donc a=1 et b=-1
donc P(x)=x²-x
2. en déduire la somme des n premiers nombres entiers pairs non nul: S=2+4+...2n
S=2*1+2*2+...+2*n
=(P(2)-P(1))+(P(3)-P(2))+...+(P(n+1)-P(n))
=P(n+1)-P(1)
=(n+1)²-(n+1)-(0)
=n²+2n+1-n-1
=n(n+1)
3. en déduire la somme des n premiers nombres entiers non nuls.
S'=1+2+3+...+n
S=2+4+6+...+2n
donc S=2*S'
donc S=1/2*n(n+1)
donc 1+2+3+...+n=n(n+1)/2
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