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En 2000, une entreprise compte 4000 employés. Une étude montre que d'une année sur l'autre, 10% de l'effectif part à la retraite. Pour compenser la perte, l'entreprise embauche chaque année 200 jeunes. Pour tout entier n on appelle Un le nombre d'employés l'année 2000 + n
1) Calculer u0, u1, u2
2) Montrer que Un+1 = 0,9Un+200
3) Cette suite est-elle arithmétique ? Est-elle géométrique ?
4) On pose Vn = Un - 2000. Déterminer v0, v1, v2.
5) Montrer que la suite (Vn) est géométrique.
6) En déduire Vn en fonction de n
7) En déduire Un en fonction de n
8) En déduire quel sera l'effectif de l'entreprise le 1er janvier 2020.
9) En déduire la limite de la suite (Un). Comment l'interpréter ?
Je ne demande pas de me faire l'exercice à ma place, juste de l'aide des pistes et de me dire si je fais des erreurs, merci à ceux qui m'aiderons.

Sagot :

1. u0 = 4000
u1 = 4000 × (1 − 10/100 ) + 200 = 3800
u2 = 3800 × (1 − 10/100 ) + 200 = 3620

2. un+1 = un × (1 − 10/100) + 200 = 9un + 200

3. Cette suite n’est ni arithmétique, ni géométrique

4. On pose vn = un − 2000
v0 = u0 − 2000 = 2000
v1 = u1 − 2000 = 1800
v2 = u2 − 2000 = 1620

5. à partir de : { (1) vn = un − 2000 ⇒ (2) vn+1 = un+1 − 2000
                     { (3) un+1 = 0, 9un + 200

Montrons que vn+1 = 0, 9vn
vn+1 = un+1 − 2000 (2)
vn+1 = (0, 9un + 200) − 2000 (3)
vn+1 = 0, 9un − 1800
vn+1 = 0, 9(un − 1800/0, 9 ) (0,9 en facteur)
vn+1 = 0, 9(un − 2000)
vn+1 = 0, 9vn (1)

donc (vn) est géométrique de raison q = 0, 9 et de premier terme v0 = 2000

6. on a donc : vn = v0 × qn = 2000 × 0, 9n

7. de plus vn = un − 2000
donc 2000 × 0, 9n = un − 2000
donc un = 2000 + 2000 × 0, 9n

8. Le 1er janvier de l’année 2020
n = 20 et u20 = 2000 + 2000 × 0, 9puiss20 ≈ 2243
l’effectif de l’entreprise sera donc de 2243 employés

9. q = 0, 9 donc 0 <q< 1
donc lim 0, 9n = 0
       n→+∞
donc lim 2000 + 2000 × 0, 9n = 2000 + 2000 × 0
       n→+∞ 
donc lim un = 2000
       n→+∞ 
Le nombre d’employés se rapproche de 2000 à long terme.
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