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Une suite réelle (Un) est définie par ses  deux premiers termes U0  et U1 et par la relation de récurrence Un+1=4(Un-Un-1)  n≥1.

1° calculer U2, U3 et U4 en fonction de U0 et U1 .

2° Montrer que la suite (Vn) définie par Un=2nVn  vérifie pour n≥1 la relation de récurrence  Vn+1—Vn=Vn—Vn—1.

4° En déduire l'expression de Vn en fonction de n , U0 et U1 puis celle de Un en fonction de n, U0 et U1.

5° On pose que U0=1 et U1=2 . Calculer S = U0 +U1 +.....+ Un

Sagot :

[tex]U_n=2^{n-1}nU_1-2^n(n-1)U_0[/tex]1°[tex]U_2=4U_1-4U_0 [/tex]

[tex]U_4=32U_1-48U_0 [/tex]

[tex]U_3=12U_1-16U_0[/tex]

2)n≥1

[tex]U_n=2^nV_n [/tex]

[tex] V_{n+1}-V_n

=\frac{4U_n-4U_{n-1}}{2^{n+1}-\frac{U_n}{2^n}}

=\frac{2U_n-4U_{n-1}}{2^{n+1}}[/tex]

[tex]

=\frac{U_n}{2^n}-\frac{U_{n-1}}{2^{n-1}}[/tex][tex]=V_n-V_{n-1}[/tex]

==> la suite(Vn) est arithmétique  de raison V2-V1

3)[tex]V_n=\frac{U_1}{2}+(n-1)(\frac{U_1}{2}-U_0)[/tex][tex]V_n=\frac{nU_1}{2}-(n-1)U_0

U_n=2^nV^n[/tex]

 

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