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Sagot :
on effectue un raisonnement par récurrence :
(I) : [tex]x_0^3=x_0^2[/tex]
donc [tex]x_0^2(x_0-1)=0[/tex]
donc [tex]x_0=m=1= \frac{1 \times (1+1)}{2} [/tex]
donc la propriété est vraie au rang n=0
(H) : supposons qu'il existe un entier [tex]m[/tex] tel que
[tex]\sum \limits_{ k=0 }^n x_k= \frac{m(m+1)}{2} [/tex]
et [tex]\sum \limits_{ k=0 }^n x_k^3=(\sum \limits_{ k=0 }^n x_k)^2[/tex]
alors [tex]\sum \limits_{ k=0 }^{n+1} x_k^3=\sum \limits_{ k=0 }^n x_k^3+x_ {n+1}^3[/tex]
donc [tex](\sum \limits_{ k=0 }^n x_k)^2+x_ {n+1}^3=(\sum \limits_{ k=0 }^n x_k+x_ {n+1})^2[/tex]
donc [tex]x_ {n+1}^3=2.x_{n+1}. \sum \limits_{ k=0 }^n x_k+x_ {n+1}^2[/tex]
donc [tex]x_ {n+1}^3-x_{n+1}^2=2.x_ {n+1}.\sum \limits_{ k=0 }^n x_k[/tex]
donc [tex]x_{n+1}^2(x_{n+1}-1)=2.x_{n+1}.\sum \limits_{ k=0 }^n x_k[/tex]
donc [tex]x_{n+1}(x_{n+1}-1)=2.\sum \limits_{ k=0 }^n x_k=m(m+1)[/tex]
donc on obtient : [tex]x_{n+1}=m+1[/tex]
ainsi : [tex]\sum \limits_{ k=0 }^{n+1} x_k=\sum \limits_{ k=0 }^n x_k+x_{n+1}= \frac{m(m+1)}{2}+m+1 [/tex]
donc [tex]\sum \limits_{ k=0 }^{n+1} x_k= \frac{m(m+1)+2(m+1)}{2}= \frac{(m+1)(m+2)}{2} [/tex]
donc la propriété est vérifiée au rang n+1
(C) : pour tout entier n , il existe un entier m tel que :
[tex]\sum \limits_{ k=0 }^n x_k= \frac{m(m+1)}{2} [/tex]
(I) : [tex]x_0^3=x_0^2[/tex]
donc [tex]x_0^2(x_0-1)=0[/tex]
donc [tex]x_0=m=1= \frac{1 \times (1+1)}{2} [/tex]
donc la propriété est vraie au rang n=0
(H) : supposons qu'il existe un entier [tex]m[/tex] tel que
[tex]\sum \limits_{ k=0 }^n x_k= \frac{m(m+1)}{2} [/tex]
et [tex]\sum \limits_{ k=0 }^n x_k^3=(\sum \limits_{ k=0 }^n x_k)^2[/tex]
alors [tex]\sum \limits_{ k=0 }^{n+1} x_k^3=\sum \limits_{ k=0 }^n x_k^3+x_ {n+1}^3[/tex]
donc [tex](\sum \limits_{ k=0 }^n x_k)^2+x_ {n+1}^3=(\sum \limits_{ k=0 }^n x_k+x_ {n+1})^2[/tex]
donc [tex]x_ {n+1}^3=2.x_{n+1}. \sum \limits_{ k=0 }^n x_k+x_ {n+1}^2[/tex]
donc [tex]x_ {n+1}^3-x_{n+1}^2=2.x_ {n+1}.\sum \limits_{ k=0 }^n x_k[/tex]
donc [tex]x_{n+1}^2(x_{n+1}-1)=2.x_{n+1}.\sum \limits_{ k=0 }^n x_k[/tex]
donc [tex]x_{n+1}(x_{n+1}-1)=2.\sum \limits_{ k=0 }^n x_k=m(m+1)[/tex]
donc on obtient : [tex]x_{n+1}=m+1[/tex]
ainsi : [tex]\sum \limits_{ k=0 }^{n+1} x_k=\sum \limits_{ k=0 }^n x_k+x_{n+1}= \frac{m(m+1)}{2}+m+1 [/tex]
donc [tex]\sum \limits_{ k=0 }^{n+1} x_k= \frac{m(m+1)+2(m+1)}{2}= \frac{(m+1)(m+2)}{2} [/tex]
donc la propriété est vérifiée au rang n+1
(C) : pour tout entier n , il existe un entier m tel que :
[tex]\sum \limits_{ k=0 }^n x_k= \frac{m(m+1)}{2} [/tex]
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