Bonjour, je poste ma question sur ce site car on m'a dit que certains sont très forts en maths. Voilà, j'ai eu une question au cours de l'année et je comprends toujours pas mon erreur. La question est :

Déterminer le chiffre des unités de 2008^2008

D'après le prof, la réponse est 4. Soit, qui saura me dire où est-ce que je me trompe ?

En vous remerciant d'avance, voici mon raisonnement ...

Effectuons la division euclidienne de 2008 par 10:
2008=200*10+8
En d'autres termes (plus clair pour moi): 2008^n congru 8^n modulo 10

Soit n un entier naturel.
Alors, 2008n congru 8n modulo 10
Plus clairement (pour un élève de quatrième par exemple), le chiffre des unités de 2008n est le même que celui de 8n

Interressons nous au chiffre des unités de 8n alors !
81 a pour dernier chiffre 8
82 a pour dernier chiffre 4
83 a pour dernier chiffre 2
84 a pour dernier chiffre 6
85 a pour dernier chiffre 8 etc.
on remarque que ça se répète (pas tres rigoureux mais on est en 4eme...)
On généralise le résultat comme celà:
toujours avec notre "n" de départ. il existe k un entier positif ou nul tel que, soit n=4k,soit n=4k+1, soit n=4k+2, ou soit n=4k+3. On a le résultat suivant:
8^(4k+1) a pour chiffre des unités un 8
8^(4k+2) a pour chiffre des unités un 4
8^(4k+3) a pour chiffre des unités un 2
8^(4k) a pour chiffre des unités un 6

Revenons à l'exercice ... Ici, n=2008.

2008^2008 a donc le même chiffre des unités que 8^2008. Puisque 2008=4*502, il s'en suit que 2008^2008 a pour chiffre des unités un 6. (prendre k=502 ...)