Obtenez des conseils d'experts et des connaissances communautaires sur FRstudy.me. Recevez des réponses rapides et précises à vos questions de la part de notre communauté de professionnels bien informés prêts à vous aider à tout moment.
Sagot :
Bonjour Sabola3
(a - b)(a + b) = a² - b²
(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3
(a - b)(a^3 + a^2 * b + a * b^2 + b^3) = a^4 - b^4
(a - b)(a^4 * b^0 + a^3 * b^1 + a^2 * b^2 + a^1 * b^3 + a^0 * b^4) = a^5 - b^5
On peut conjecturer que [tex]\boxed{a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^na^{n-k}\,b^k}[/tex]
Démontrons-le par récurrence.
Initialisation : n = 0
[tex]a^{0+1}-b^{0+1}=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^0a^{0-0}\,b^0\\\\a-b=(a-b)\times1\\\\a-b=a-b[/tex]
L'initialisation est vraie.
Hérédité.
Nous supposons que la formule est vraie pour un certain rang n entier naturel.
Montrons que la formule est encore vraie pour le rang (n+1)
Nous supposons que [tex]a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^na^{n-k}\,b^k[/tex]
Nous devons démontrer que [tex]a^{n+2}-b^{n+2}=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}a^{n+1-k}\,b^k[/tex]
En effet,
[tex](a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}a^{n+1-k}\,b^k\\\\\\=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a^{n+1-k}\,b^k+(a-b)a^{n+1-(n+1)}b^{n+1}}\\\\\\=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a^{n+1-k}\,b^k+(a-b)a^{n+1-n-1}b^{n+1}}\\\\\\=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a^{n+1-k}\,b^k+(a-b)a^{0}b^{n+1}}\\\\\\[/tex]
[tex]=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a^{n+1-k}\,b^k+(a-b)\times1\times b^{n+1}}\\\\\\=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a^{n+1-k}\,b^k+(a-b)b^{n+1}}\\\\\\=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a\times a^{n-k}\,b^k+(a-b)b^{n+1}}\\\\\\=a(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a^{n-k}\,b^k+(a-b)b^{n+1}}[/tex]
[tex]=a(a^{n+1}-b^{n+1})+(a-b)b^{n+1}}\ \ (en\ utilisant\ l'hypoth\grave{e}se)\\\\=a\times a^{n+1}-a\times b^{n+1}+a\times b^{n+1}-b\times b^{n+1}}\\\\=a^{n+2}-ab^{n+1}+ab^{n+1}-b^{n+2}}\\\\=a^{n+2}-b^{n+2}}[/tex]
L'hérédité est donc vérifiée.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, la formule suivante est correcte :
[tex]\boxed{a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^na^{n-k}\,b^k}[/tex]
(a - b)(a + b) = a² - b²
(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3
(a - b)(a^3 + a^2 * b + a * b^2 + b^3) = a^4 - b^4
(a - b)(a^4 * b^0 + a^3 * b^1 + a^2 * b^2 + a^1 * b^3 + a^0 * b^4) = a^5 - b^5
On peut conjecturer que [tex]\boxed{a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^na^{n-k}\,b^k}[/tex]
Démontrons-le par récurrence.
Initialisation : n = 0
[tex]a^{0+1}-b^{0+1}=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^0a^{0-0}\,b^0\\\\a-b=(a-b)\times1\\\\a-b=a-b[/tex]
L'initialisation est vraie.
Hérédité.
Nous supposons que la formule est vraie pour un certain rang n entier naturel.
Montrons que la formule est encore vraie pour le rang (n+1)
Nous supposons que [tex]a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^na^{n-k}\,b^k[/tex]
Nous devons démontrer que [tex]a^{n+2}-b^{n+2}=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}a^{n+1-k}\,b^k[/tex]
En effet,
[tex](a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}a^{n+1-k}\,b^k\\\\\\=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a^{n+1-k}\,b^k+(a-b)a^{n+1-(n+1)}b^{n+1}}\\\\\\=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a^{n+1-k}\,b^k+(a-b)a^{n+1-n-1}b^{n+1}}\\\\\\=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a^{n+1-k}\,b^k+(a-b)a^{0}b^{n+1}}\\\\\\[/tex]
[tex]=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a^{n+1-k}\,b^k+(a-b)\times1\times b^{n+1}}\\\\\\=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a^{n+1-k}\,b^k+(a-b)b^{n+1}}\\\\\\=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a\times a^{n-k}\,b^k+(a-b)b^{n+1}}\\\\\\=a(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a^{n-k}\,b^k+(a-b)b^{n+1}}[/tex]
[tex]=a(a^{n+1}-b^{n+1})+(a-b)b^{n+1}}\ \ (en\ utilisant\ l'hypoth\grave{e}se)\\\\=a\times a^{n+1}-a\times b^{n+1}+a\times b^{n+1}-b\times b^{n+1}}\\\\=a^{n+2}-ab^{n+1}+ab^{n+1}-b^{n+2}}\\\\=a^{n+2}-b^{n+2}}[/tex]
L'hérédité est donc vérifiée.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, la formule suivante est correcte :
[tex]\boxed{a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^na^{n-k}\,b^k}[/tex]
Votre engagement est important pour nous. Continuez à partager vos connaissances et vos expériences. Créons un environnement d'apprentissage agréable et bénéfique pour tous. Merci de visiter FRstudy.me. Nous sommes là pour vous fournir des réponses claires et précises.
