Obtenez des conseils avisés et des réponses précises sur FRstudy.me. Trouvez rapidement et facilement les informations dont vous avez besoin avec notre plateforme de questions-réponses précise et complète.
Sagot :
Bonjour Kpodo139
Pour tout réel x appartenant à ]0 ; +oo[, nous avons :
[tex]x\times\ln(x)=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}}\times (-\ln(\dfrac{1}{x}))\\\\\\x\times\ln(x)=\dfrac{-\ln(\dfrac{1}{x})}{\dfrac{1}{x}}[/tex]
D'où
[tex]\lim_{x\to0^+}\ [x\times\ln(x)]=\lim_{x\to0^+}\ \dfrac{-\ln(\dfrac{1}{x})}{\dfrac{1}{x}}\\\\\\\lim_{x\to0^+}\ [x\times\ln(x)]=\lim_{x\to0^+}\ \dfrac{-\ln(\dfrac{1}{x})}{\dfrac{1}{x}}\\\\\\\lim_{x\to0^+}\ [x\times\ln(x)]=\lim_{t\to+\infty}\ \dfrac{-\ln(t)}{t}\ \ (avec\ t=\dfrac{1}{x})[/tex]
Or
[tex]\lim_{t\to+\infty}\ \dfrac{\ln(t)}{t}=0\\\\\Longrightarrow\lim_{t\to+\infty}\ \dfrac{-\ln(t)}{t}=0[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\lim_{x\to0^+}\ [x\times\ln(x)]=0}[/tex]
Pour tout réel x appartenant à ]0 ; +oo[, nous avons :
[tex]x\times\ln(x)=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}}\times (-\ln(\dfrac{1}{x}))\\\\\\x\times\ln(x)=\dfrac{-\ln(\dfrac{1}{x})}{\dfrac{1}{x}}[/tex]
D'où
[tex]\lim_{x\to0^+}\ [x\times\ln(x)]=\lim_{x\to0^+}\ \dfrac{-\ln(\dfrac{1}{x})}{\dfrac{1}{x}}\\\\\\\lim_{x\to0^+}\ [x\times\ln(x)]=\lim_{x\to0^+}\ \dfrac{-\ln(\dfrac{1}{x})}{\dfrac{1}{x}}\\\\\\\lim_{x\to0^+}\ [x\times\ln(x)]=\lim_{t\to+\infty}\ \dfrac{-\ln(t)}{t}\ \ (avec\ t=\dfrac{1}{x})[/tex]
Or
[tex]\lim_{t\to+\infty}\ \dfrac{\ln(t)}{t}=0\\\\\Longrightarrow\lim_{t\to+\infty}\ \dfrac{-\ln(t)}{t}=0[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\lim_{x\to0^+}\ [x\times\ln(x)]=0}[/tex]
Nous valorisons votre présence ici. Continuez à partager vos connaissances et à aider les autres à trouver les réponses dont ils ont besoin. Cette communauté est l'endroit parfait pour apprendre ensemble. Nous espérons que vous avez trouvé ce que vous cherchiez sur FRstudy.me. Revenez pour plus de solutions!
