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Sagot :
Bonjour Kpodo139
Pour tout réel x appartenant à ]0 ; +oo[, nous avons :
[tex]x\times\ln(x)=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}}\times (-\ln(\dfrac{1}{x}))\\\\\\x\times\ln(x)=\dfrac{-\ln(\dfrac{1}{x})}{\dfrac{1}{x}}[/tex]
D'où
[tex]\lim_{x\to0^+}\ [x\times\ln(x)]=\lim_{x\to0^+}\ \dfrac{-\ln(\dfrac{1}{x})}{\dfrac{1}{x}}\\\\\\\lim_{x\to0^+}\ [x\times\ln(x)]=\lim_{x\to0^+}\ \dfrac{-\ln(\dfrac{1}{x})}{\dfrac{1}{x}}\\\\\\\lim_{x\to0^+}\ [x\times\ln(x)]=\lim_{t\to+\infty}\ \dfrac{-\ln(t)}{t}\ \ (avec\ t=\dfrac{1}{x})[/tex]
Or
[tex]\lim_{t\to+\infty}\ \dfrac{\ln(t)}{t}=0\\\\\Longrightarrow\lim_{t\to+\infty}\ \dfrac{-\ln(t)}{t}=0[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\lim_{x\to0^+}\ [x\times\ln(x)]=0}[/tex]
Pour tout réel x appartenant à ]0 ; +oo[, nous avons :
[tex]x\times\ln(x)=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}}\times (-\ln(\dfrac{1}{x}))\\\\\\x\times\ln(x)=\dfrac{-\ln(\dfrac{1}{x})}{\dfrac{1}{x}}[/tex]
D'où
[tex]\lim_{x\to0^+}\ [x\times\ln(x)]=\lim_{x\to0^+}\ \dfrac{-\ln(\dfrac{1}{x})}{\dfrac{1}{x}}\\\\\\\lim_{x\to0^+}\ [x\times\ln(x)]=\lim_{x\to0^+}\ \dfrac{-\ln(\dfrac{1}{x})}{\dfrac{1}{x}}\\\\\\\lim_{x\to0^+}\ [x\times\ln(x)]=\lim_{t\to+\infty}\ \dfrac{-\ln(t)}{t}\ \ (avec\ t=\dfrac{1}{x})[/tex]
Or
[tex]\lim_{t\to+\infty}\ \dfrac{\ln(t)}{t}=0\\\\\Longrightarrow\lim_{t\to+\infty}\ \dfrac{-\ln(t)}{t}=0[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\lim_{x\to0^+}\ [x\times\ln(x)]=0}[/tex]
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