ex 1 : montrons que [tex]\frac{2. \theta}{\pi} \leq sin \theta[/tex]
on pose : [tex]f(x)=sin(x)[/tex] et [tex]g(x)= \frac{2x}{ \pi } [/tex]
sur l'intervalle [tex][0; \frac{ \pi }{2}] [/tex] ,[tex]f[/tex] est concave
donc sa courbe est située au-dessus de sa corde et en dessous de ses tangentes.
or le graphique de g représente la corde de f sur [tex][0; \frac{ \pi }{2}] [/tex]
en effet : [tex]f(0)=g(0)=0[/tex] et [tex]f( \frac{ \pi }{2} )=g( \frac{ \pi }{2} )=1[/tex]
donc pour tout [tex]x \in [0; \frac{ \pi }{2}] [/tex] : [tex]f(x) \geq g(x)[/tex]
donc on déduit que : [tex]\frac{2. \theta}{\pi} \leq sin \theta[/tex]
ex 2 : montrons que [tex]cos \theta \leq 1- \frac{\theta^2}{ \pi } [/tex]
on pose : [tex]f(x)=cos(x)+ \frac{x^2}{ \pi } [/tex]
donc : [tex]f'(x)=-sin(x)+ \frac{2x}{ \pi } [/tex]
d'après la propriété de l'ex 1 : [tex]sin(x) \geq \frac{2x}{ \pi } [/tex]
donc on obtient : [tex]-sin(x)+ \frac{2x}{ \pi } \leq 0[/tex]
ainsi : [tex]f'(x) \leq 0 [/tex]
donc f est décroissante sur [tex][0; \frac{ \pi }{2}] [/tex]
ainsi f admet un maximum en 0
donc : pour x appartenant à [tex][0; \frac{ \pi }{2}] [/tex] : [tex]f(x) \leq f(0)[/tex]
soit encore : [tex]cos(x)+ \frac{x^2}{ \pi } \leq 1[/tex]
donc : [tex]cos \theta \leq 1- \frac{\theta^2}{ \pi } [/tex]
