Bonjour Tichawonna333
Exercice 1
Quelles sont les valeurs de n pour que [tex](\sqrt{3}+i)^n[/tex] soit un imaginaire pur ?
Ecrivons [tex](\sqrt{3}+i)^n[/tex] sous forme exponentielle.
[tex]\sqrt{3}+i=2(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i)\\\\\sqrt{3}+i=2[\cos(\dfrac{\pi}{6})+i\sin(\dfrac{\pi}{6})]\\\\\\\sqrt{3}+i=2 e^{i\dfrac{\pi}{6}}\\\\\\(\sqrt{3}+i)^n=2^n\times e^{i\dfrac{n\pi}{6}}[/tex]
[tex](\sqrt{3}+i)^n\ \ \text{est imaginaire pur} \Longrightarrow\ \arg((\sqrt{3}+i)^n)=\dfrac{\pi}{2}[\pi]\\\\\Longrightarrow\ n\dfrac{\pi}{6}[2\pi]=\dfrac{\pi}{2}[\pi]\\\\\Longrightarrow\ \dfrac{n}{6}=\dfrac{1}{2}+k\ (k\in\mathbb{Z})\\\\\Longrightarrow\ \boxed{n=3+6k'\ (k'\in\mathbb{Z})}[/tex]
Exercice 2
Déterminer l'ensemble des points M tels que z' soit un imaginaire pur et déterminer l'ensemble des points M tel que z' soit un réel
si z' = i(x+iy)+2(x-iy)+1
[tex]z' = i(x+iy)+2(x-iy)+1\\\\z' = ix-y+2x-2iy+1\\\\z' = 2x-y+1 + i(x-2y) [/tex]
z' sera imaginaire pur si sa partie réelle est nulle, c'est-à-dire si 2x-y+1=0.
L'ensemble des points M tels que z' soit un imaginaire pur est la droite d'équation 2x - y + 1 = 0
z' sera réel si sa partie imaginaire est nulle, c'est-à-dire si x-2y=0.
L'ensemble des points M tels que z' soit réel est la droite d'équation x - 2y = 0.
