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Sagot :
on suppose que la suite [tex](u_n)[/tex] converge vers [tex]l \in IR[/tex]
alors [tex] \lim_{n \to \infty} u_n= \lim_{n \to \infty} u_{n+1}=l [/tex]
or [tex] \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1}=0 [/tex]
donc on obtient :
[tex]l= \sqrt{l} [/tex]
donc [tex]l^2=l[/tex]
donc [tex]l=0[/tex] ou [tex]l=1[/tex]
puisque [tex]u_0 \geq 0[/tex] on déduit que que [tex](u_n) [/tex] est croissante
donc [tex] \lim_{n \to \infty} u_n =1[/tex]
alors [tex] \lim_{n \to \infty} u_n= \lim_{n \to \infty} u_{n+1}=l [/tex]
or [tex] \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1}=0 [/tex]
donc on obtient :
[tex]l= \sqrt{l} [/tex]
donc [tex]l^2=l[/tex]
donc [tex]l=0[/tex] ou [tex]l=1[/tex]
puisque [tex]u_0 \geq 0[/tex] on déduit que que [tex](u_n) [/tex] est croissante
donc [tex] \lim_{n \to \infty} u_n =1[/tex]
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