a) f est dérivable en a si [tex] \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a) \neq \infty [/tex]
ici, on a : T=(f(3+h)-f(3))/h=((3+h)²-2(3+h)-1-2)/h
donc T=(9+6h+h²-6-2h-3)/h=(h²+4h)/h=h+4
donc si h-->0 alors T--> 4
donc f est dérivable en 3 et f'(3)=4
b) f'(a) se lit par le coefficient directeur de la tangente en a
donc f'(-4)=1,5 ; f'(1)=-0,25 ; f'(8)=0
c) f(x)=(4x+1)/(x²+3) ; f est définie, continue et dérivable sur IR car x²+3≠0
f'(x)=(4(x²+3)-(4x+1)(2x))/(x²+3)²
=(4x²+12-8x²-2x)/(x²+3)²
=(-4x²-2x+12)/(x²+3)²
l'équation de la tangente à Cf en x=0 est :
y=f'(0).(x-0)+f(0)
or f'(0)=12/9=4/3 et f(0)=1/3
donc (T0) : y=4/3x+1/3
d) Cf admet des tangentes horizontales si f'(x)=0
donc -4x²-2x+12=0
donc 2x²+x-6=0
donc (2x-3)(x+2)=0
donc 2x-3=0 ou x+2=0
donc x=1,5 ou x=-2
donc Cf admet 2 tangentes horizontales en x=1,5 et x=-2
une figure est donnée en annexe
