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Sagot :
Bonjour Fleure5590
[tex]v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+2}\\\\\\v_{n+1}=\dfrac{\dfrac{2}{1+u_n}-1}{\dfrac{2}{1+u_n}+2}\\\\\\v_{n+1}=\dfrac{\dfrac{2-(1+u_n)}{1+u_n}}{\dfrac{2+2(1+u_n)}{1+u_n}}\\\\\\[/tex]
[tex]v_{n+1}=\dfrac{2-(1+u_n)}{2+2(1+u_n)}\\\\v_{n+1}=\dfrac{2-1-u_n}{2+2+2u_n}\\\\v_{n+1}=\dfrac{1-u_n}{4+2u_n}\\\\v_{n+1}=\dfrac{-(u_n-1)}{2(2+u_n)}\\\\v_{n+1}=\dfrac{-1}{2}\times\dfrac{u_n-1}{2+u_n}\\\\\boxed{v_{n+1}=\dfrac{-1}{2}\times v_n}[/tex]
Donc la suite [tex](v_n)[/tex] est une suite géométrique de raison égale à [tex]\dfrac{-1}{2}[/tex] et de premier terme [tex]v_0=\dfrac{u_0-1}{u_0+2}=\dfrac{3-1}{3+2}=\dfrac{2}{5}[/tex]
Exprimer pour tout entier naturel n, Vn en fonction de n.
[tex]v_n=v_0\times(-\dfrac{1}{2})^n\\\\\boxed{v_n=\dfrac{2}{5}\times(-\dfrac{1}{2})^n}[/tex]
En déduire pour tout entier naturel n, Un en fonction de n.
[tex]v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+2}\\\\(u_n+2)\times v_n=u_n-1\\\\u_nv_n+2v_n=u_n-1\\\\u_n-u_nv_n=2v_n+1\\\\u_n(1-v_n)=2v_n+1\\\\u_n=\dfrac{2v_n+1}{1-v_n}[/tex]
[tex]u_n=\dfrac{2\times\dfrac{2}{5}(-\dfrac{1}{2})^n+1}{1-\dfrac{2}{5}(-\dfrac{1}{2})^n}\\\\\\\boxed{u_n=\dfrac{\dfrac{4}{5}(-\dfrac{1}{2})^n+1}{1-\dfrac{2}{5}(-\dfrac{1}{2})^n}}[/tex]
Conjecturer le comportement des termes un lorsque n devient très grand.
Lorsque n devient très grand, [tex](\dfrac{-1}{2})^n[/tex] se rapproche de 0.
La fraction [tex]\dfrac{\dfrac{4}{5}(-\dfrac{1}{2})^n+1}{1-\dfrac{2}{5}(-\dfrac{1}{2})^n}[/tex] se rapprochera donc de la fraction [tex]\dfrac{0+1}{1-0}[/tex], c'est-à-dire de 1.
On peut donc conjecturer que si n devient très grand, les termes [tex]u_n[/tex] se rapprocheront de 1.
[tex]v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+2}\\\\\\v_{n+1}=\dfrac{\dfrac{2}{1+u_n}-1}{\dfrac{2}{1+u_n}+2}\\\\\\v_{n+1}=\dfrac{\dfrac{2-(1+u_n)}{1+u_n}}{\dfrac{2+2(1+u_n)}{1+u_n}}\\\\\\[/tex]
[tex]v_{n+1}=\dfrac{2-(1+u_n)}{2+2(1+u_n)}\\\\v_{n+1}=\dfrac{2-1-u_n}{2+2+2u_n}\\\\v_{n+1}=\dfrac{1-u_n}{4+2u_n}\\\\v_{n+1}=\dfrac{-(u_n-1)}{2(2+u_n)}\\\\v_{n+1}=\dfrac{-1}{2}\times\dfrac{u_n-1}{2+u_n}\\\\\boxed{v_{n+1}=\dfrac{-1}{2}\times v_n}[/tex]
Donc la suite [tex](v_n)[/tex] est une suite géométrique de raison égale à [tex]\dfrac{-1}{2}[/tex] et de premier terme [tex]v_0=\dfrac{u_0-1}{u_0+2}=\dfrac{3-1}{3+2}=\dfrac{2}{5}[/tex]
Exprimer pour tout entier naturel n, Vn en fonction de n.
[tex]v_n=v_0\times(-\dfrac{1}{2})^n\\\\\boxed{v_n=\dfrac{2}{5}\times(-\dfrac{1}{2})^n}[/tex]
En déduire pour tout entier naturel n, Un en fonction de n.
[tex]v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+2}\\\\(u_n+2)\times v_n=u_n-1\\\\u_nv_n+2v_n=u_n-1\\\\u_n-u_nv_n=2v_n+1\\\\u_n(1-v_n)=2v_n+1\\\\u_n=\dfrac{2v_n+1}{1-v_n}[/tex]
[tex]u_n=\dfrac{2\times\dfrac{2}{5}(-\dfrac{1}{2})^n+1}{1-\dfrac{2}{5}(-\dfrac{1}{2})^n}\\\\\\\boxed{u_n=\dfrac{\dfrac{4}{5}(-\dfrac{1}{2})^n+1}{1-\dfrac{2}{5}(-\dfrac{1}{2})^n}}[/tex]
Conjecturer le comportement des termes un lorsque n devient très grand.
Lorsque n devient très grand, [tex](\dfrac{-1}{2})^n[/tex] se rapproche de 0.
La fraction [tex]\dfrac{\dfrac{4}{5}(-\dfrac{1}{2})^n+1}{1-\dfrac{2}{5}(-\dfrac{1}{2})^n}[/tex] se rapprochera donc de la fraction [tex]\dfrac{0+1}{1-0}[/tex], c'est-à-dire de 1.
On peut donc conjecturer que si n devient très grand, les termes [tex]u_n[/tex] se rapprocheront de 1.
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