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Sagot :
Bonjour Blackbird
Mesures des côtés:
[tex]\overrightarrow{AB}\ (x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A)\\\overrightarrow{AB}\ (-\sqrt{3}+\sqrt{3}\ ;\ 13-1)\\\\\overrightarrow{AB}\ (0\ ;\ 12)\\\\AB=\sqrt{(x_{\overrightarrow{AB}})^2+(y_{\overrightarrow{AB}})^2}\\AB=\sqrt{0^2+12^2}\\AB=\sqrt{12^2}\\\\\boxed{AB=12}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AC}\ (x_C-x_A\ ;\ y_C-y_A)\\\overrightarrow{AC}\ (3\sqrt{3}+\sqrt{3}\ ;\ 4-1)\\\\\overrightarrow{AC}\ (4\sqrt{3}\ ;\ 3)\\\\AC=\sqrt{(x_{\overrightarrow{AC}})^2+(y_{\overrightarrow{AC}})^2}\\AC=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+3^2}\\AC=\sqrt{48+9}\\\\\boxed{AC=\sqrt{57}}[/tex]
[tex]\overrightarrow{BC}\ (x_C-x_B\ ;\ y_C-y_B)\\\overrightarrow{BC}\ (3\sqrt{3}+\sqrt{3}\ ;\ 4-13)\\\\\overrightarrow{BC}\ (4\sqrt{3}\ ;\ -9)\\\\BC=\sqrt{(x_{\overrightarrow{BC}})^2+(y_{\overrightarrow{BC}})^2}\\BC=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+(-9)^2}\\BC=\sqrt{48+81}\\\\\boxed{BC=\sqrt{129}}[/tex]
Mesures des angles :
1) Mesure de l'angle BAC
D'une part nous avons :
[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=x_{\overrightarrow{AB}}\times x_{\overrightarrow{AC}}+y_{\overrightarrow{AB}}\times y_{\overrightarrow{AC}}\\\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\times4\sqrt{3}+12\times3\\\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0+36\\\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=36[/tex]
D'autre part, nous avons :
[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}})\\\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=12\times \sqrt{57}\times\cos(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}})[/tex]
Par conséquent,
[tex]12\times \sqrt{57}\times\cos(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}})=36\\\\\cos(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}})=\dfrac{36}{12\times \sqrt{57}}\\\\\cos(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}})\approx0,4\\\\(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}})=\cos^{-1}(0,4)\\\\\boxed{(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}})\approx66^o}\\\\\boxed{\widehat{BAC}\approx66^o}[/tex]
2) Mesure de l'angle ABC
D'une part nous avons :
[tex]\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=x_{\overrightarrow{BA}}\times x_{\overrightarrow{BC}}+y_{\overrightarrow{BA}}\times y_{\overrightarrow{BC}}\\\\\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=0\times4\sqrt{3}-12\times(-9)\\\\\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=0+108\\\\\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=108[/tex]
D'autre part, nous avons :
[tex]\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BA\times BC\times\cos(\widehat{\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}})\\\\\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=12\times \sqrt{129}\times\cos(\widehat{\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}})[/tex]
Par conséquent,
[tex]12\times \sqrt{129}\times\cos(\widehat{\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}})=108\\\\\cos(\widehat{\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}})=\dfrac{108}{12\times \sqrt{129}}\\\\\cos(\widehat{\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}})\approx0,8\\\\(\widehat{\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}})=\cos^{-1}(0,8)\\\\\boxed{(\widehat{\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}})\approx37^o}\\\\\boxed{\widehat{ABC}\approx37^o}[/tex]
3) Mesure de l'angle ACB
D'une part nous avons :
[tex]\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}=x_{\overrightarrow{BC}}\times x_{\overrightarrow{AC}}+y_{\overrightarrow{BC}}\times y_{\overrightarrow{AC}}\\\\\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}=4\sqrt{3}\times4\sqrt{3}-(-9)\times3\\\\\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}=48-27\\\\\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}=21[/tex]
D'autre part, nous avons :
[tex]\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}=BC\times AC\times\cos(\widehat{\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}})\\\\\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}=\sqrt{129}\times \sqrt{57}\times\cos(\widehat{\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}})[/tex]
Par conséquent,
[tex]\sqrt{129}\times\sqrt{57}\times\cos(\widehat{\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}})=21\\\\\cos(\widehat{\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}})=\dfrac{21}{\sqrt{129}\times\sqrt{57}}\\\\\cos(\widehat{\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}})\approx0,24\\\\(\widehat{\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}})=\cos^{-1}(0,24)\\\\\boxed{(\widehat{\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}})\approx76^o}\\\\\boxed{\widehat{ACB}\approx76^o}[/tex]
Remarque:
La sommes des mesures des 3 angles cherchés est égale à 179° au lieu de 180°.
Cela est dû aux arrondis à l'unité de chaque angle.
Mesures des côtés:
[tex]\overrightarrow{AB}\ (x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A)\\\overrightarrow{AB}\ (-\sqrt{3}+\sqrt{3}\ ;\ 13-1)\\\\\overrightarrow{AB}\ (0\ ;\ 12)\\\\AB=\sqrt{(x_{\overrightarrow{AB}})^2+(y_{\overrightarrow{AB}})^2}\\AB=\sqrt{0^2+12^2}\\AB=\sqrt{12^2}\\\\\boxed{AB=12}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AC}\ (x_C-x_A\ ;\ y_C-y_A)\\\overrightarrow{AC}\ (3\sqrt{3}+\sqrt{3}\ ;\ 4-1)\\\\\overrightarrow{AC}\ (4\sqrt{3}\ ;\ 3)\\\\AC=\sqrt{(x_{\overrightarrow{AC}})^2+(y_{\overrightarrow{AC}})^2}\\AC=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+3^2}\\AC=\sqrt{48+9}\\\\\boxed{AC=\sqrt{57}}[/tex]
[tex]\overrightarrow{BC}\ (x_C-x_B\ ;\ y_C-y_B)\\\overrightarrow{BC}\ (3\sqrt{3}+\sqrt{3}\ ;\ 4-13)\\\\\overrightarrow{BC}\ (4\sqrt{3}\ ;\ -9)\\\\BC=\sqrt{(x_{\overrightarrow{BC}})^2+(y_{\overrightarrow{BC}})^2}\\BC=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+(-9)^2}\\BC=\sqrt{48+81}\\\\\boxed{BC=\sqrt{129}}[/tex]
Mesures des angles :
1) Mesure de l'angle BAC
D'une part nous avons :
[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=x_{\overrightarrow{AB}}\times x_{\overrightarrow{AC}}+y_{\overrightarrow{AB}}\times y_{\overrightarrow{AC}}\\\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\times4\sqrt{3}+12\times3\\\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0+36\\\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=36[/tex]
D'autre part, nous avons :
[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}})\\\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=12\times \sqrt{57}\times\cos(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}})[/tex]
Par conséquent,
[tex]12\times \sqrt{57}\times\cos(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}})=36\\\\\cos(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}})=\dfrac{36}{12\times \sqrt{57}}\\\\\cos(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}})\approx0,4\\\\(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}})=\cos^{-1}(0,4)\\\\\boxed{(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}})\approx66^o}\\\\\boxed{\widehat{BAC}\approx66^o}[/tex]
2) Mesure de l'angle ABC
D'une part nous avons :
[tex]\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=x_{\overrightarrow{BA}}\times x_{\overrightarrow{BC}}+y_{\overrightarrow{BA}}\times y_{\overrightarrow{BC}}\\\\\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=0\times4\sqrt{3}-12\times(-9)\\\\\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=0+108\\\\\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=108[/tex]
D'autre part, nous avons :
[tex]\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BA\times BC\times\cos(\widehat{\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}})\\\\\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=12\times \sqrt{129}\times\cos(\widehat{\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}})[/tex]
Par conséquent,
[tex]12\times \sqrt{129}\times\cos(\widehat{\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}})=108\\\\\cos(\widehat{\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}})=\dfrac{108}{12\times \sqrt{129}}\\\\\cos(\widehat{\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}})\approx0,8\\\\(\widehat{\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}})=\cos^{-1}(0,8)\\\\\boxed{(\widehat{\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}})\approx37^o}\\\\\boxed{\widehat{ABC}\approx37^o}[/tex]
3) Mesure de l'angle ACB
D'une part nous avons :
[tex]\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}=x_{\overrightarrow{BC}}\times x_{\overrightarrow{AC}}+y_{\overrightarrow{BC}}\times y_{\overrightarrow{AC}}\\\\\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}=4\sqrt{3}\times4\sqrt{3}-(-9)\times3\\\\\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}=48-27\\\\\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}=21[/tex]
D'autre part, nous avons :
[tex]\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}=BC\times AC\times\cos(\widehat{\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}})\\\\\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}=\sqrt{129}\times \sqrt{57}\times\cos(\widehat{\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}})[/tex]
Par conséquent,
[tex]\sqrt{129}\times\sqrt{57}\times\cos(\widehat{\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}})=21\\\\\cos(\widehat{\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}})=\dfrac{21}{\sqrt{129}\times\sqrt{57}}\\\\\cos(\widehat{\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}})\approx0,24\\\\(\widehat{\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}})=\cos^{-1}(0,24)\\\\\boxed{(\widehat{\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}})\approx76^o}\\\\\boxed{\widehat{ACB}\approx76^o}[/tex]
Remarque:
La sommes des mesures des 3 angles cherchés est égale à 179° au lieu de 180°.
Cela est dû aux arrondis à l'unité de chaque angle.
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