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Sagot :
Il s'agit de la forme quadratique Q d'une forme bilinéaire symétrique Ф
on pose x=(x1;y1) et y=(x2;y2)
ainsi Ф(x,y)=x1.y1-3x1.y2-3x2.y1+5x2.y2
donc Q(x)=Ф(x,x)=(x1)²-6.x1.x2+5(x2)²
il faut maintenant réduire la forme quadratique Q par la Méthode de GAUSS :
on a : x1.x2=1/2(x1+x2)²-1/2(x1-x2)²
donc Q(x)=(x1)²-6.x1.x2+5(x2)²
=(x1)²-3(x1+x2)²-3(x1-x2)²+5(x2)²
=(x1-3.x2)²-4(x2)²
on pose : l1(x)=x1-3.x2 et l2(x)=x2
les formes linéaires l1 et l2 sont indépendantes
donc la forme quadratique Q est de signature (1,1) et de rang 2
on pose x=(x1;y1) et y=(x2;y2)
ainsi Ф(x,y)=x1.y1-3x1.y2-3x2.y1+5x2.y2
donc Q(x)=Ф(x,x)=(x1)²-6.x1.x2+5(x2)²
il faut maintenant réduire la forme quadratique Q par la Méthode de GAUSS :
on a : x1.x2=1/2(x1+x2)²-1/2(x1-x2)²
donc Q(x)=(x1)²-6.x1.x2+5(x2)²
=(x1)²-3(x1+x2)²-3(x1-x2)²+5(x2)²
=(x1-3.x2)²-4(x2)²
on pose : l1(x)=x1-3.x2 et l2(x)=x2
les formes linéaires l1 et l2 sont indépendantes
donc la forme quadratique Q est de signature (1,1) et de rang 2
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