Bonjour Steph23
2°) Lien entre le signe de f ' et les variations de f
1) Variations de f.
[tex]
\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-2&&0&&2&&5 \\sg\ f'(x)&&+&0&-&0&+&\\var\ f&f(-2)&\nearrow&f(0)&\searrow&f(2)&\nearrow&f(5)\\ \end{array}
[/tex]
2) [tex]f(x)=x^3+2x^2-7x-1[/tex]
[tex]f'(x)=3x^2+4x-7\\\\\Delta=4^2-4\times3\times(-7)=16+84=100\ \textgreater \ 0\\\\Racines\ :\\\\x_1=\dfrac{-4-\sqrt{100}}{6}=\dfrac{-4-10}{6}=\dfrac{-14}{6}=\dfrac{-7}{3}\\\\x_2=\dfrac{-4+\sqrt{100}}{6}=\dfrac{-4+10}{6}=\dfrac{6}{6}=1[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-\dfrac{7}{3}&&1&&+\infty \\sg\ f'(x)&&+&0&-&0&+&\\var\ f&&\nearrow&\dfrac{365}{27}\approx13,5&\searrow&-5&\nearrow&\\ \end{array} [/tex]
Donc f est croissante sur ]-oo ; -7/3] U [1; +oo[
f est décroissante sur [-7/3 ; 1]
3) [tex]S(x)=x+\dfrac{1}{x}[/tex]
[tex]S'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}\\\\S'(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2}[/tex]
Racines : numérateur : -1 et 1
dénominateur : 0
[tex]
\begin{array}{|c|ccccccccc|} x&-\infty&&-1&&0&&1&&+\infty \\ x^2-1&&+&0&-&-&-&0&+&\\ x^2&&+&+&+&0&+&+&+&\\S'(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2}&&+&0&-&|&-&0&+&\\ \end{array}
[/tex]
Or S est définie sur ]0 ; +oo[
D'où, le tableau se réduit à :
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&1&&+\infty \\S'(x)&|&-&0&+&\\S(x)&|&\searrow&2&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent, le minimum de S est égal à 2.
Ce minimum existe pour x = 1.
Exercice 6
[tex]f(x)=\dfrac{x^2+7x+10}{x+1}[/tex]
[tex]1)\ f'(x)=\dfrac{(x^2+7x+10)'(x+1)-(x^2+7x+10)(x+1)'}{(x+1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{(2x+7)(x+1)-(x^2+7x+10)\times1}{(x+1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{2x^2+2x+7x+7-x^2-7x-10}{(x+1)^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}}[/tex]
2) Une équation de la tangente (T) à la courbe (C) représentative de f en son point A d’abscisse (-2) est donnée par : [tex]y = f'(-2)(x +2) + f(-2)[/tex]
Or
[tex]f'(-2)=\dfrac{(-2)^2+2\times(-2)-3}{(-2+1)^2}=\dfrac{4-4-3}{1}=-3\\\\f(-2)=\dfrac{(-2)^2+7\times(-2)+10}{-2+1}=\dfrac{4-14+10}{-1}=0[/tex]
D'où, une équation de la tangente (T) est :
[tex]y = (-3)(x +2) + 0\\\\\boxed{y=-3x-6}[/tex]
[tex]3)\ a)\ x^2+2x-3=0\\\\\Delta=2^2-4\times1\times(-3)=4+12=16\ \textgreater \ 0\\\\x_1=\dfrac{-2-\sqrt{16}}{2}=\dfrac{-2-4}{2}=\dfrac{-6}{2}=-3\\\\x_2=\dfrac{-2+\sqrt{16}}{2}=\dfrac{-2+4}{2}=\dfrac{2}{2}=1[/tex]
Les solutions de l'équation x² + 2x - 3 = 0 sont -3 et 1.
b) Tableau de variation de f complet.
[tex]\begin{array}{|c|ccccccccc|} x&-\infty&&-3&&-1&&1&&+\infty \\ x^2+2x-3&&+&0&-&-&-&0&+&\\ (x+1)^2&&+&+&+&0&+&+&+&\\ f'(x)=\dfrac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}&&+&0&-&|&-&0&+&\\ f(x)=\dfrac{x^2+7x+10}{x+1}&&\nearrow&1&\searrow&|&\searrow&9&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
c) Extremums locaux de f:
f admet un maximum local égal à 1 pour x = -3.
f admet un minimum local égal à 9 pour x = 1.
4) Graphique sur la calculatrice avec
Xmin = -10
Xmax = 10
Ymin = -10
Ymax = 20
Voir pièce jointe
Les résultats des questions 2 et 3 sont cohérents avec le graphique.
