Bonjour Muwanga306
1) a) Résoudre dans C l'équation (z - 1)/(z - 2i) = i.
Condition : [tex]z\neq 2i[/tex]
[tex]\dfrac{z-1}{z-2i} = i\\\\ z-1=i(z-2i)\\ z-1=iz+2\\ z-iz=1+2 \\(1-i)z=3\\\\z=\dfrac{3}{1-i}\\\\z=\dfrac{3(1+i)}{(1-i)(1+i)}0\\\\z=\dfrac{3(1+i)}{2}[/tex]
[tex]\\\\\boxed{z=\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}i}[/tex]
b) Résoudre dans C l'équation (z - 1)/(z - 2i) = -1
Condition : [tex]z\neq 2i[/tex]
[tex]\dfrac{z-1}{z-2i} = -1\\\\ z-1=(-1)\times(z-2i)\\ z-1=-z+2i\\ z+z=1+2i \\2z=1+2i\\\\z=\dfrac{1}{2}(1+2i)}\\\\\boxed{z=\dfrac{1}{2}+i}[/tex]
2) On pose Z= (z-1)/(z-2i) = X + iY où X et Y sont deux réels
Exprimer X et Y en fonction de x et de y
[tex]Z=\dfrac{z-1}{z-2i}\\\\Z=\dfrac{x+iy-1}{x+iy-2i}\\\\Z=\dfrac{x-1+iy}{x+i(y-2)}\\\\Z=\dfrac{(x-1+iy)[x-i(y-2)]}{[x+i(y-2)][x-i(y-2)]}\\\\Z=\dfrac{x(x-1)-i(x-1)(y-2)-iyx+y(y-2)}{x^2+(y-2)^2}\\\\Z =\dfrac{x(x-1)+y(y-2) + i(yx-(x-1)(y-2))}{x^2+(y-2)^2}[/tex]
[tex]Z =\dfrac{x^2-x+y^2-2y + i(yx-xy+2x+y-2)}{x^2+(y-2)^2}\\\\Z =\dfrac{x^2+y^2-x-2y + i(2x+y-2)}{x^2+(y-2)^2}\\\\Z =\dfrac{x^2+y^2-x-2y}{x^2+(y-2)^2}+ i\dfrac{2x+y-2}{x^2+(y-2)^2}=X+iY\\\\\\\Longrightarrow \boxed{X=\dfrac{x^2+y^2-x-2y}{x^2+(y-2)^2}\ et\ Y=\dfrac{2x+y-2}{x^2+(y-2)^2}}[/tex]
3)a) Déterminer l'ensemble (E) des points M d'affixe z tels que Z soit réel.
Z est réel ssi sa partie imaginaire Y = 0, soit si 2x + y - 2 = 0.
L'ensemble (E) est une droite d'équation 2x + y - 2 = 0.
b) Montrer que D (d'affixe 1/2 + i) appartient à cet ensemble.
Dans l'équation de la droite, remplaçons x par 1/2 et y par 1
[tex]2\times(\dfrac{1}{2}) + 1 - 2=1+1-2= 0[/tex]
Par conséquent, D appartient bien à cet ensemble (E)
4)a) Déterminer l'ensemble (F) des points M d'affixe z tels que Z soit imaginaire pur ou nul.
Z est imaginaire ssi sa partie réelle X est nulle, soit si x² + y² - x - 2y = 0.
L'ensemble (F) est un cercle d'équation x² + y² - x - 2y = 0, soit le cercle d'équation (x - 1/2)² + (y - 1)² = 5/4 dont le centre admet comme coordonnées (1/2 ; 1) et de rayon [tex]\dfrac{\sqrt{5}}{2}[/tex].
b) Montrer que C (d'affixe 3/2 + (3/2)i )appartient à cet ensemble.
Dans l'équation du cercle, remplaçons x par 3/2 et y par 3/2.
[tex](\dfrac{3}{2})^2 + (\dfrac{3}{2})^2 - \dfrac{3}{2} - 2\times\dfrac{3}{2}\\\\ =\dfrac{9}{4} + \dfrac{9}{4} - \dfrac{3}{2} - 3\\\\=\dfrac{9}{4} + \dfrac{9}{4} - \dfrac{6}{4} -\dfrac{12}{4}\\\\=0[/tex]
Par conséquent, C appartient bien à cet ensemble (F).
5) Sur un même graphique placer les points A,B,C,D et représenter les ensembles ( E) et (F)
Voir pièce jointe
