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Tapy764
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bonjour!! Une récurrence à vérifier:
Soit x un réel positif ou nul.
Démontrer par récurrence que : Pour tout entier naturel n, (1+x)^n ≥ 1 + nx
Soient
u_n = (1+x)^n
v_n = 1 + nx
1°) Vrai pour un n quelconque?
Pour n = 0
(1+x)^n ≥ 1 + nx
(1+x)^0 ≥ 1 + 0x
(1+x)^0 ≥ 1
(1+x)^0 est bien égal à 1. Donc vrai pour u_0 et v_0.
2°) Vrai pour u_(n+1) et v_(n+1) ?
On suppose que pour un certain entier n :
(1+x)^n ≥ 1 + nx (hypothèse de récurrence)
On va montrer que :
un+1 ≥ vn+1
(1+x)^(n+1) ≥ 1 + (n+1) x
(1+x) (1+x)^n ≥ 1 + nx + x
(1+x) un ≥ vn + x
Or, on a prouvé que u_n ≥ v_n.
De plus, 1+x ≥ x
Donc u_(n+1) ≥ v_(n+1)
=> Mais là j'ai peur parce que je crois me souvenir que pour montrer quelque chose on n'était pas sensé partir de ce qu'on voulait démontrer... Comment faire ça proprement?
Merci

Sagot :

Soit x un réel positif ou nul.
Démontrer par récurrence que : Pour tout entier naturel n, (1+x)^n ≥ 1 + nx
Soient
u_n = (1+x)^n
v_n = 1 + nx

1°) Vrai pour un n quelconque?
Pour n = 0
(1+x)^n ≥ 1 + nx
(1+x)^0 ≥ 1 + 0x
(1+x)^0 ≥ 1
(1+x)^0 est bien égal à 1. Donc vrai pour u_0 et v_0.

2°) Vrai pour u_(n+1) et v_(n+1) ?
On suppose que pour un certain entier n :
(1+x)^n ≥ 1 + nx (hypothèse de récurrence)
On va montrer que :
un+1 ≥ vn+1
(1+x)^(n+1) ≥ 1 + (n+1) x
(1+x) (1+x)^n ≥ 1 + nx + x
(1+x) un ≥ vn + x
Or, on a prouvé que u_n ≥ v_n.
De plus, 1+x ≥ x
Donc u_(n+1) ≥ v_(n+1)

Tout est EXACT !...
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