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Sagot :
Soit k le minorant de f sur Z
donc pour tout entier relatif n : f(n) ≥ k
on sait que :
f(n) ≥ 1/2(f(n+1)+f(n-1))
Supposons (par l'absurde) que f ne soit pas constante
donc il existe 2 réels a et b avec a<b et f(n-1)=a ; f(n+1)=b
donc f(n) ≥ (a+b)/2
or n ∈ [n-1;n+1] donc d'après le théorème des accroissements finis, il existe un réel c ∈ [n-1;n+1] tel que f'(c)=(f(n+1)-f(n-1))/((n+1)-(n-1))
donc f'(c)=(b-a)/2>0
ainsi le graphe de f se situe en dessous de sa tangente au point c
donc f est concave sur tout intervalle [n-1;n+1]
ainsi le graphe de f ne possède pas d'asymptote horizontale
donc la limite de f en -∞ n'est pas constante
donc il existe un entier relatif p tel que f(p)<k
on obtient ainsi une contradiction avec l'hypothèse de départ
Conclusion :
Pour tout entier relatif n, f '(n)=0
donc f est constante sur Z
donc pour tout entier relatif n : f(n) ≥ k
on sait que :
f(n) ≥ 1/2(f(n+1)+f(n-1))
Supposons (par l'absurde) que f ne soit pas constante
donc il existe 2 réels a et b avec a<b et f(n-1)=a ; f(n+1)=b
donc f(n) ≥ (a+b)/2
or n ∈ [n-1;n+1] donc d'après le théorème des accroissements finis, il existe un réel c ∈ [n-1;n+1] tel que f'(c)=(f(n+1)-f(n-1))/((n+1)-(n-1))
donc f'(c)=(b-a)/2>0
ainsi le graphe de f se situe en dessous de sa tangente au point c
donc f est concave sur tout intervalle [n-1;n+1]
ainsi le graphe de f ne possède pas d'asymptote horizontale
donc la limite de f en -∞ n'est pas constante
donc il existe un entier relatif p tel que f(p)<k
on obtient ainsi une contradiction avec l'hypothèse de départ
Conclusion :
Pour tout entier relatif n, f '(n)=0
donc f est constante sur Z
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