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Sagot :
on pose h(x)=arctan(x)+arctan(1/x)
soit f(x)=arctan(x) et g(x)=arctan(1/x)
alors f'(x)=1/(1+x²) et g'(x)=-1/x².1/(1+(1/x)²)=-1/(1+x²)
donc h'(x)=f'(x)+g'(x)=1/(1+x²)-1/(1+x²)=0
donc h est constante sur [0;+∞[
or f(1)=arctan(1)+arctan(1)=π/4+π/4=π/2
donc f(x)=π/2 sur [0;+∞[
donc arctan(x)+arctan(1/x)=π/2 si x>0
de même sur ]-∞;0] ; h'(x)=0
h(x)=h(-1)=-π/2
donc arctan(x)+arctan(1/x)=-π/2 si x<0
soit f(x)=arctan(x) et g(x)=arctan(1/x)
alors f'(x)=1/(1+x²) et g'(x)=-1/x².1/(1+(1/x)²)=-1/(1+x²)
donc h'(x)=f'(x)+g'(x)=1/(1+x²)-1/(1+x²)=0
donc h est constante sur [0;+∞[
or f(1)=arctan(1)+arctan(1)=π/4+π/4=π/2
donc f(x)=π/2 sur [0;+∞[
donc arctan(x)+arctan(1/x)=π/2 si x>0
de même sur ]-∞;0] ; h'(x)=0
h(x)=h(-1)=-π/2
donc arctan(x)+arctan(1/x)=-π/2 si x<0
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