1. Démontrez que l'équation X^4 + 4X^3 - 8X^2 + 2 = 0 admet une unique solution dans l'intervalle [0;1].
soit f(x)=x^4+4x^3-8x²+2
alors f'(x)=4x³+12x²-16x
donc f'(x)=(4x)(x²+3x-4)=(4x)(x-1)(x+4)
donc f' s'annule en -4 ; 0 ; 1
donc f est décroissante sur ]-∞;-4] et sur [0;1]
et f est croissante sur [-4;0] et sur [1;+∞[
en particulier :
* f est continue sur [0;1]
* f est strict décroissante sur [0;1]
* f(0)=2>0 et f(1)=-1<0
d'après le th des valeurs intermédiaires l'équation f(x)=0 possède une unique solution α ∈ [0;1]
2. Donnez un encadrement d'amplitude 10e-2 de cette solution
avec une calculatrice on obtient : 0,625 < α < 0,626
