Construisons la suite Ф par récurrence forte sur n telle que :
Ф(n+1)>Ф(n) et sin (Ф(n))≤1/(n+1)
* Pour n=0, il suffit de choisir Ф(0)=0 car |sin(Ф(n))|≤1
* pour n quelconque, supposons Ф(n) construit, alors on pose :
A=min { 1/(n+1) ; Ф(0) ; Ф(1) ; ... ; Ф(n) }+1
puisque la suite (sin( Ф(n)) est bornée, on peut trouver un entier p tel que :
sin (Ф(p)) ≤ A
Par construction de A, l est clair que p ne peut être égal à 0 ; 1 ; ... Ф(n)
on obtient donc : p > sin (Ф(n)) et sin(Ф(n+1)) ≤ 1/(n+2)
Ainsi, le choix Ф(n+1)=p répond à la question posée
Conclusion :
* la suite (sin(Ф(n)) est convergente comme sous-suite d'une suite bornée (sin(n)) (th de Bolzano-Waeirstrass)
* l'application Ф : IN --> IN est strictement croissante et injective
* Par construction : 0 ≤ sin(Ф(n)) ≤ 1/(n+1)
d’après le théorème des gendarmes la suite (sin(Ф(n)) est convergente et décroissante vers 0
