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Sagot :
Bonjour Badu921
[tex]\int\sqrt{1-x^2}\ dx\\\\x=\sin t\Longrightarrow dx=\cos t\ dt\\x=\sin t\Longrightarrow t=\arcsin x\ avec\ t\in[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}]\\\\\int\sqrt{1-x^2}\ dx=\int\sqrt{1-\sin^2 x}\cos t\ dt\\\\\int\sqrt{1-x^2}\ dx=\int\sqrt{\cos^2 t}\cos t\ dt\\\\\int\sqrt{1-x^2}\ dx=\int|\cos t|\cos t\ dt\\\\t\in[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}]\Longrightarrow \cos t\ge \Longrightarrow |\cos t|=\cos t[/tex]
[tex]\int\sqrt{1-x^2}\ dx=\int\cos t\times\cos t\ dt\\\\\int\sqrt{1-x^2}\ dx=\int\cos^2 t\ dt\\\\\int\sqrt{1-x^2}\ dx=\int\dfrac{1+\cos 2t}{2}\ dt\\\\\int\sqrt{1-x^2}\ dx=\dfrac{1}{2}\int(1+\cos 2t)\ dt\\\\\int\sqrt{1-x^2}\ dx=\dfrac{1}{2}(t+\dfrac{1}{2}\sin 2t)+C\\\\\int\sqrt{1-x^2}\ dx=\dfrac{1}{2}(t+\dfrac{1}{2}\times2\sin t\cos t)+C[/tex]
[tex]\int\sqrt{1-x^2}\ dx=\dfrac{1}{2}(t+\sin t\cos t)+C\\\\\int\sqrt{1-x^2}\ dx=\dfrac{1}{2}(t+\sin t\sqrt{\cos^2t})+C\\\\\int\sqrt{1-x^2}\ dx=\dfrac{1}{2}(t+\sin t\sqrt{1-\sin^2t})+C\\\\\int\sqrt{1-x^2}\ dx=\dfrac{1}{2}(\arcsin x+x\sqrt{1-x^2})+C[/tex]
Puisque la constante est nulle selon l'énoncé,
[tex]\boxed{F(x)=\dfrac{1}{2}(\arcsin x+x\sqrt{1-x^2})}[/tex]
[tex]\int\sqrt{1-x^2}\ dx\\\\x=\sin t\Longrightarrow dx=\cos t\ dt\\x=\sin t\Longrightarrow t=\arcsin x\ avec\ t\in[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}]\\\\\int\sqrt{1-x^2}\ dx=\int\sqrt{1-\sin^2 x}\cos t\ dt\\\\\int\sqrt{1-x^2}\ dx=\int\sqrt{\cos^2 t}\cos t\ dt\\\\\int\sqrt{1-x^2}\ dx=\int|\cos t|\cos t\ dt\\\\t\in[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}]\Longrightarrow \cos t\ge \Longrightarrow |\cos t|=\cos t[/tex]
[tex]\int\sqrt{1-x^2}\ dx=\int\cos t\times\cos t\ dt\\\\\int\sqrt{1-x^2}\ dx=\int\cos^2 t\ dt\\\\\int\sqrt{1-x^2}\ dx=\int\dfrac{1+\cos 2t}{2}\ dt\\\\\int\sqrt{1-x^2}\ dx=\dfrac{1}{2}\int(1+\cos 2t)\ dt\\\\\int\sqrt{1-x^2}\ dx=\dfrac{1}{2}(t+\dfrac{1}{2}\sin 2t)+C\\\\\int\sqrt{1-x^2}\ dx=\dfrac{1}{2}(t+\dfrac{1}{2}\times2\sin t\cos t)+C[/tex]
[tex]\int\sqrt{1-x^2}\ dx=\dfrac{1}{2}(t+\sin t\cos t)+C\\\\\int\sqrt{1-x^2}\ dx=\dfrac{1}{2}(t+\sin t\sqrt{\cos^2t})+C\\\\\int\sqrt{1-x^2}\ dx=\dfrac{1}{2}(t+\sin t\sqrt{1-\sin^2t})+C\\\\\int\sqrt{1-x^2}\ dx=\dfrac{1}{2}(\arcsin x+x\sqrt{1-x^2})+C[/tex]
Puisque la constante est nulle selon l'énoncé,
[tex]\boxed{F(x)=\dfrac{1}{2}(\arcsin x+x\sqrt{1-x^2})}[/tex]
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