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Sagot :
Bonjour Nuwamanya817
Montrons que [tex]\lim_{x\to 0}\ {x\sin(\dfrac{1}{x})}=0[/tex]
Nous savons que pour tout réel x non nul,
[tex]-1\le\sin(\dfrac{1}{x})\le1\\\\-|x|\le x\sin(\dfrac{1}{x})\le|x|\\\\\lim_{x\to 0}\ (-|x|)\le \lim_{x\to 0}\ x\sin(\dfrac{1}{x})\le\lim_{x\to 0}\ |x|\\\\0\le \lim_{x\to 0}\ x\sin(\dfrac{1}{x})\le0\\\\\boxed{\lim_{x\to 0}\ x\sin(\dfrac{1}{x})=0}[/tex]
Par conséquent, nous pouvons définir la fonction f partout continue par
[tex]f(x)=\left\{\begin{matrix}x\sin(\dfrac{1}{x})\ \ si\ x\neq 0\\\\ 0\ \ si\ x = 0 \end{matrix}\right.[/tex]
Montrons que [tex]\lim_{x\to 0}\ {x\sin(\dfrac{1}{x})}=0[/tex]
Nous savons que pour tout réel x non nul,
[tex]-1\le\sin(\dfrac{1}{x})\le1\\\\-|x|\le x\sin(\dfrac{1}{x})\le|x|\\\\\lim_{x\to 0}\ (-|x|)\le \lim_{x\to 0}\ x\sin(\dfrac{1}{x})\le\lim_{x\to 0}\ |x|\\\\0\le \lim_{x\to 0}\ x\sin(\dfrac{1}{x})\le0\\\\\boxed{\lim_{x\to 0}\ x\sin(\dfrac{1}{x})=0}[/tex]
Par conséquent, nous pouvons définir la fonction f partout continue par
[tex]f(x)=\left\{\begin{matrix}x\sin(\dfrac{1}{x})\ \ si\ x\neq 0\\\\ 0\ \ si\ x = 0 \end{matrix}\right.[/tex]
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