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Bonjour ,
j'ai un gros problème pour résoudre les équations cartésiennes de plan ( gros ) , après avoir justifié l'existence du plan en prouvant que les vecteurs AB et AC sont colinéaires ( normalement y'a des flèches sur AB et AC ) , donc la suite du problème me parait ... impossible
Vecteur AB (-1;1;1) et AC (-3;2;1)
et dans la correction y'a marqué "on cherche maintenant des réels a,b,c et d tels que (ABC) ait pour équation ax+by+cz+d=0
A,B et C appartiennent à ce plan , d'où le système à trois équations , quatre inconnues : ( on exprime a , b et c en fonction de d )
je me retrouve devant ça :
{2a + b + c = -d (L1){2a + b+ c =-d {2a+b+c=-d
{a+ 2b + 2c = -d (L2){5b+4c=-2d(L2+L3) {5b+4c=-2d
{-a + 3b+2c = -d (L3){7b+5c = -3d (2L3+L1){3c=d(7L2-5L3)
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| En haut grande accolade
bon , c'est très interessant , je vois sortir des deux de partout et qui sortent de nul part , les L1 c'est pour comprendre la résolution mais c'est pas évident quand on connait pas le début
si vous pourriez me dire comment les trucs du genre 2a+b+c sont apparus vous me seriez d'un grand secours
merci ,

Sagot :

Bonjour Chijoke975

Au vu des équations proposées et des coordonnées des vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AC}[/tex], nous pouvons supposer que le plan [tex](\alpha)[/tex] comprend les points A(2;1;1), B(1;2;2) et C(-1;3;2).

Une équations cartésienne du plan [tex](\alpha)[/tex] est de la forme :
ax + by + cz + d = 0.

Pour déterminer les valeurs de a, b, c et d, nous exprimons que les points A, B et C appartient à ce plan.

Pour ce faire, dans l'équation cartésienne de [tex](\alpha)[/tex], nous remplacerons x, y et z respectivement par les abscisses, les ordonnées et les cotes des trois points.

Ainsi nous aurons : 
[tex]A(2;1;1)\in\alpha\Longleftrightarrow a\times2+b\times1+c\times1+d=0\\A(2;1;1)\in\alpha\Longleftrightarrow 2a+b+c+d=0 \\\\B(1;2;2)\in\alpha\Longleftrightarrow a\times1+b\times2+c\times2+d=0\\B(1;2;2)\in\alpha\Longleftrightarrow a+2b+2c+d=0 \\\\C(-1;3;2)\in\alpha\Longleftrightarrow a\times(-1)+b\times3+c\times2+d=0\\C(-1;3;2)\in\alpha\Longleftrightarrow -a+3b+2c+d=0[/tex]

D'où le système de trois équations à 4 inconnues.

[tex]\left\{\begin{matrix}2a + b + c+d=0\\ a+ 2b + 2c+d=0\\ -a + 3b+2c +d=0\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}2a + b + c=-d\ \ (L1)\\ a+ 2b + 2c=-d\ \ (L2)\\ -a + 3b+2c-d\ \ (L3)\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}2a + b + c=-d\ \ (L1)\\ 5b+4c=-2d\ \ (L2+L3)\\ 7b+5c = -3d\ \ (2L3+L1)\end{matrix}\right.[/tex]

[tex]\\\\\\\left\{\begin{matrix}2a + b + c=-d\\ 5b+4c=-2d\\ 3c=d\ \ (7L2-5L3)\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}2a + b + c=-d\\ 5b+4c=-2d\\ 3c=d\end{matrix}\right.[/tex]

Posons d = 3

[tex]\\\\\\\left\{\begin{matrix}2a + b + c=-3\\ 5b+4c=-6\\ 3c=3\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}2a + b + c=-3\\ 5b+4c=-6\\ c=1\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}2a + b + c=-3\\ 5b+4=-6\\ c=1\end{matrix}\right.[/tex]

[tex]\\\\\\\left\{\begin{matrix}2a + b + c=-3\\ 5b=-10\\ c=1\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}2a + b + c=-3\\ b=-2\\ c=1\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}2a -2+1=-3\\ b=-2\\ c=1\end{matrix}\right.[/tex]

[tex]\\\\\\\left\{\begin{matrix}2a =-2\\ b=-2\\ c=1\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}a =-1\\ b=-2\\ c=1\end{matrix}\right.[/tex]

D'où, a = -1 ; b = -2 ; c = 1 ; d = 3

Une équation cartésienne du plan est -x -2y + z + 3 = 0
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