Bonjour Nsubuga606
Soit la suite [tex](u_n)_{n\in\mathbb{Z}}[/tex] définie par [tex]u_0=\sqrt{3}[/tex] et [tex]u_{n+1}=\sqrt{3+u_n}[/tex]
Montrons par récurrence que cette suite est croissante.
Initialisation :
[tex]u_0\ \textless \ u_1[/tex]
En effet :
[tex]\ u_0=\sqrt{3}\ et\ u_1=\sqrt{3+\sqrt{3}}\\\\3\ \textless \ 3+\sqrt{3}\Longrightarrow\sqrt{3}\ \textless \ \sqrt{3+\sqrt{3}}[/tex]
Hérédité :
Si pour tout n, [tex]u_n\ \textless \ u_{n+1}[/tex], alors montrons que [tex]u_{n+1}\ \textless \ u_{n+2}[/tex]
En effet :
[tex]u_{n+2}=\sqrt{3+u_{n+1}}\ \textgreater \ \sqrt{3+u_{n}}\ \ car\ u_{n+1}\ \textgreater \ u_{n}\\\\u_{n+2}=\sqrt{3+u_{n+1}}\ \textgreater \ \sqrt{3+u_{n}}=u_{n+1}[/tex]
D'où [tex]u_{n+1}\ \textless \ u_{n+2}[/tex]
L'initialisation et l'hérédité étant démontrées, la suite [tex](u_n)_{n\in\mathbb{Z}}[/tex] est croissante.
Montrons que cette suite est bornée supérieurement par 3.
Initialisation :
[tex]u_0\ \textless \ 3\ car\ \sqrt{3}\approx1,7\ \textless \ 3
[/tex]
Hérédité :
Pour tout n, si [tex]u_n\ \textless \ 3[/tex], alors montrons que [tex]u_{n+1}\ \textless \ 3[/tex]
En effet,
[tex]u_{n+1}=\sqrt{3+u_n}\ \textless \ \sqrt{3+3}\ car\ u_n\ \textless \ 3\\\\u_{n+1}\ \textless \ \sqrt{6}\ \textless \ \sqrt{9}\\\\u_{n+1}\ \textless \ 3[/tex]
L'initialisation et l'hérédité étant démontrées, la suite [tex](u_n)_{n\in\mathbb{Z}}[/tex] est bornée supérieurement par 3.
D'où la suite [tex](u_n)[/tex] est croissante et bornée.
Elle est convergente et admet une limite notée [tex]u[/tex]
Nous avons ainsi :
[tex]u=\sqrt{3+u}\\\\u^2=3+u\\u^2-u-3=0\\\Delta =1+12=13\ \textgreater \ 0\\\\u=\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}\ \ ou\ \ u=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}[/tex]
Sachant que u>0, la valeur [tex]\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}[/tex] est à rejeter.
D'où [tex]\lim_{n\to+\infty}\ u_n=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...}}}}=\lim_{n\to+\infty}\ u_n\\\\\\\boxed{\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...}}}}=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}}[/tex]
