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Sagot :
Bonjour Kwame688
Soit a un réel strictement positif.
Démontrer par récurrence sur n que : pour tout n de N*, [tex](1+a)^n\ge1+na[/tex]
Initialisation : n = 1
[tex](1+a)^n=(1+a)^1=1+a\\1+na=1+1\times a=1+a\\\\Donc\ si\ n=1,\\(1+a)^n\ge1+na\ \ (=1+a)[/tex]
Hérédité :
Supposons que la propriété est vraie pour un rang k et démontrons qu'elle est encore vraie au rang k+1.
Supposons donc que [tex](1+a)^k\ge1+ka[/tex]
Montrons que [tex](1+a)^{k+1}\ge1+(k+1)a[/tex]
En effet ,
[tex](1+a)^{k+1}=(1+a)^{k}(1+a)[/tex]
Or [tex](1+a)^k\ge1+ka\ \ et\ \ 1+a\ \textgreater \ 0\Longrightarrow(1+a)^k(1+a)\ge(1+ka)(1+a)[/tex]
D'où
[tex](1+a)^{k+1}\ge(1+ka)(1+a)\\(1+a)^{k+1}\ge1+a+ka+ka^2\\(1+a)^{k+1}\ge1+(1+k)a+ka^2[/tex]
Mais [tex]k\ \textgreater \ 0\ et\ a\neq0\Longrightarrow ka^2\ \textgreater \ 0[/tex]
D'où
[tex](1+a)^{k+1}\ge1+(1+k)a+ka^2\ge1+(1+k)a\\\\\boxed{(1+a)^{k+1}\ge1+(1+k)a}[/tex]
L'initialisation et l'hérédité étant démontrées, la propriété suivante est vraie :
Pour tout n de N*, [tex](1+a)^n\ge1+na[/tex]
Soit a un réel strictement positif.
Démontrer par récurrence sur n que : pour tout n de N*, [tex](1+a)^n\ge1+na[/tex]
Initialisation : n = 1
[tex](1+a)^n=(1+a)^1=1+a\\1+na=1+1\times a=1+a\\\\Donc\ si\ n=1,\\(1+a)^n\ge1+na\ \ (=1+a)[/tex]
Hérédité :
Supposons que la propriété est vraie pour un rang k et démontrons qu'elle est encore vraie au rang k+1.
Supposons donc que [tex](1+a)^k\ge1+ka[/tex]
Montrons que [tex](1+a)^{k+1}\ge1+(k+1)a[/tex]
En effet ,
[tex](1+a)^{k+1}=(1+a)^{k}(1+a)[/tex]
Or [tex](1+a)^k\ge1+ka\ \ et\ \ 1+a\ \textgreater \ 0\Longrightarrow(1+a)^k(1+a)\ge(1+ka)(1+a)[/tex]
D'où
[tex](1+a)^{k+1}\ge(1+ka)(1+a)\\(1+a)^{k+1}\ge1+a+ka+ka^2\\(1+a)^{k+1}\ge1+(1+k)a+ka^2[/tex]
Mais [tex]k\ \textgreater \ 0\ et\ a\neq0\Longrightarrow ka^2\ \textgreater \ 0[/tex]
D'où
[tex](1+a)^{k+1}\ge1+(1+k)a+ka^2\ge1+(1+k)a\\\\\boxed{(1+a)^{k+1}\ge1+(1+k)a}[/tex]
L'initialisation et l'hérédité étant démontrées, la propriété suivante est vraie :
Pour tout n de N*, [tex](1+a)^n\ge1+na[/tex]
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