FRstudy.me propose un mélange unique de réponses expertes et de connaissances communautaires. Notre communauté fournit des réponses précises et rapides pour vous aider à comprendre et résoudre n'importe quel problème.
Sagot :
Bonjour Mazi224,
[tex]1)\ \boxed{f(x)=2x-\dfrac{e^x+1}{e^x-1}}\\\\f(-x)=-2x-\dfrac{e^{-x}+1}{e^{-x}-1}\\\\f(-x)=-2x-\dfrac{\dfrac{1}{e^x}+1}{\dfrac{1}{e^x}-1}\\\\\\f(-x)=-2x-\dfrac{\dfrac{1+e^x}{e^x}}{\dfrac{1-e^x}{e^x}}\\\\[/tex]
[tex]f(-x)=-2x-\dfrac{1+e^x}{1-e^x}\\\\\boxed{f(-x)=-2x+\dfrac{e^x+1}{e^x-1}}\\\\[/tex]
D'où pour tout x réel non nul, nous savons que (-x) est un réel non nul et f(-x)=-f(x).
Par conséquent, f est impaire et la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l'origine du repère.
[tex]2a)\ f(x)=2x-\dfrac{e^x+1}{e^x-1}\\\\f(x)=2x-\dfrac{e^x-1+2}{e^x-1}\\\\f(x)=2x-\dfrac{e^x-1}{e^x-1}-\dfrac{2}{e^x-1}\\\\\boxed{f(x)=2x-1-\dfrac{2}{e^x-1}}[/tex]
[tex]f(x)=2x-\dfrac{e^x+1}{e^x-1}\\\\f(x)=2x+\dfrac{-e^x-1}{e^x-1}\\\\f(x)=2x+\dfrac{e^x-2e^x-1}{e^x-1}\\\\f(x)=2x+\dfrac{e^x-1}{e^x-1}-\dfrac{2e^x}{e^x-1}\\\\\boxed{f(x)=2x+1-\dfrac{2e^x}{e^x-1}}[/tex]
[tex]b)\ \lim_{x\to-\infty}\ f(x)=\lim_{x\to-\infty}\ (2x-1-\dfrac{2}{e^x-1})\\\\\lim_{x\to-\infty}\ f(x)=\lim_{x\to-\infty}\ (2x-1)-\lim_{x\to-\infty}\ \dfrac{2}{e^x-1}\\\\\lim_{x\to-\infty}\ f(x)=-\infty-(-2)\\\\\boxed{\lim_{x\to-\infty}\ f(x)=-\infty}[/tex]
[tex]\lim_{x\to+\infty}\ f(x)=\lim_{x\to+\infty}\ (2x-1-\dfrac{2}{e^x-1})\\\\\lim_{x\to+\infty}\ f(x)=\lim_{x\to+\infty}\ (2x-1)-\lim_{x\to+\infty}\ \dfrac{2}{e^x-1}\\\\\lim_{x\to+\infty}\ f(x)=+\infty-0\\\\\boxed{\lim_{x\to+\infty}\ f(x)=+\infty} [/tex]
[tex]\lim_{x\to0^+}\ f(x)=\lim_{x\to0^+}\ (2x-1-\dfrac{2}{e^x-1})\\\\\lim_{x\to0^+}\ f(x)=\lim_{x\to0^+}\ (2x-1)-\lim_{x\to0^+}\ \dfrac{2}{e^x-1}\\\\\lim_{x\to0^+}\ f(x)=-1-(+\infty)\\\\\boxed{\lim_{x\to0^+}\ f(x)=-\infty}[/tex]
[tex]\lim_{x\to0^-}\ f(x)=\lim_{x\to0^-}\ (2x-1-\dfrac{2}{e^x-1})\\\\\lim_{x\to0^-}\ f(x)=\lim_{x\to0^-}\ (2x-1)-\lim_{x\to0^-}\ \dfrac{2}{e^x-1}\\\\\lim_{x\to0^-}\ f(x)=-1-(-\infty)\\\\\boxed{\lim_{x\to0^-}\ f(x)=+\infty}[/tex]
c) Il existe une asymptote verticale d'équation x = 0
car [tex]\lim_{x\to0^-}\ f(x)=+\infty\ et\ \lim_{x\to0^+}\ f(x)=-\infty[/tex]
Il existe une asymptote oblique (L) en -oo d'équation y = 2x + 1 car
[tex]\lim_{x\to-\infty}\ [f(x)-(2x+1)]=\lim_{x\to-\infty}\ (-\dfrac{2e^x}{e^x-1})=-\dfrac{0^+}{0-1}=0^+[/tex]
Il existe une asymptote oblique (L') en +oo d'équation y = 2x - 1 car
[tex]\lim_{x\to+\infty}\ [f(x)-(2x-1)]=\lim_{x\to+\infty}\ (-\dfrac{2}{e^x-1})=[-\dfrac{2}{+\infty}]=0^-[/tex]
d) La courbe représentant f est au-dessus de la droite (L) car [tex]\lim_{x\to-\infty}\ [f(x)-(2x+1)]=0^+[/tex]
La courbe représentant f est en-dessous de la droite (L') car [tex]\lim_{x\to+\infty}\ [f(x)-(2x-1)]=0^-[/tex]
[tex]3a)\ f'(x)=[2x-1-\dfrac{2}{e^x-1}]'\\\\f'(x)=2+\dfrac{2e^x}{(e^x-1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{2(e^x-1)^2+2e^x}{(e^x-1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{2[(e^x-1)^2+e^x]}{(e^x-1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{2(e^{2x}-e^x+1)}{(e^x-1)^2}[/tex]
b) f'(x) > 0 car [tex]2[(e^x-1)^2+e^x]\ \textgreater \ 0\ \ et\ \ (e^x-1)^2\ \textgreater \ 0[/tex]
Donc la fonction f est strictement croissante sur ]-oo ; 0[ et sur ]0 ; +oo[.
4) Tableau de variation de f :
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&0&&+\infty \\f(x)&-\infty&\nearrow&+\infty|-\infty&\nearrow&+\infty\\ \end{array}[/tex]
5) Courbe et asymptotes.
Voir pièce jointe.
[tex]1)\ \boxed{f(x)=2x-\dfrac{e^x+1}{e^x-1}}\\\\f(-x)=-2x-\dfrac{e^{-x}+1}{e^{-x}-1}\\\\f(-x)=-2x-\dfrac{\dfrac{1}{e^x}+1}{\dfrac{1}{e^x}-1}\\\\\\f(-x)=-2x-\dfrac{\dfrac{1+e^x}{e^x}}{\dfrac{1-e^x}{e^x}}\\\\[/tex]
[tex]f(-x)=-2x-\dfrac{1+e^x}{1-e^x}\\\\\boxed{f(-x)=-2x+\dfrac{e^x+1}{e^x-1}}\\\\[/tex]
D'où pour tout x réel non nul, nous savons que (-x) est un réel non nul et f(-x)=-f(x).
Par conséquent, f est impaire et la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l'origine du repère.
[tex]2a)\ f(x)=2x-\dfrac{e^x+1}{e^x-1}\\\\f(x)=2x-\dfrac{e^x-1+2}{e^x-1}\\\\f(x)=2x-\dfrac{e^x-1}{e^x-1}-\dfrac{2}{e^x-1}\\\\\boxed{f(x)=2x-1-\dfrac{2}{e^x-1}}[/tex]
[tex]f(x)=2x-\dfrac{e^x+1}{e^x-1}\\\\f(x)=2x+\dfrac{-e^x-1}{e^x-1}\\\\f(x)=2x+\dfrac{e^x-2e^x-1}{e^x-1}\\\\f(x)=2x+\dfrac{e^x-1}{e^x-1}-\dfrac{2e^x}{e^x-1}\\\\\boxed{f(x)=2x+1-\dfrac{2e^x}{e^x-1}}[/tex]
[tex]b)\ \lim_{x\to-\infty}\ f(x)=\lim_{x\to-\infty}\ (2x-1-\dfrac{2}{e^x-1})\\\\\lim_{x\to-\infty}\ f(x)=\lim_{x\to-\infty}\ (2x-1)-\lim_{x\to-\infty}\ \dfrac{2}{e^x-1}\\\\\lim_{x\to-\infty}\ f(x)=-\infty-(-2)\\\\\boxed{\lim_{x\to-\infty}\ f(x)=-\infty}[/tex]
[tex]\lim_{x\to+\infty}\ f(x)=\lim_{x\to+\infty}\ (2x-1-\dfrac{2}{e^x-1})\\\\\lim_{x\to+\infty}\ f(x)=\lim_{x\to+\infty}\ (2x-1)-\lim_{x\to+\infty}\ \dfrac{2}{e^x-1}\\\\\lim_{x\to+\infty}\ f(x)=+\infty-0\\\\\boxed{\lim_{x\to+\infty}\ f(x)=+\infty} [/tex]
[tex]\lim_{x\to0^+}\ f(x)=\lim_{x\to0^+}\ (2x-1-\dfrac{2}{e^x-1})\\\\\lim_{x\to0^+}\ f(x)=\lim_{x\to0^+}\ (2x-1)-\lim_{x\to0^+}\ \dfrac{2}{e^x-1}\\\\\lim_{x\to0^+}\ f(x)=-1-(+\infty)\\\\\boxed{\lim_{x\to0^+}\ f(x)=-\infty}[/tex]
[tex]\lim_{x\to0^-}\ f(x)=\lim_{x\to0^-}\ (2x-1-\dfrac{2}{e^x-1})\\\\\lim_{x\to0^-}\ f(x)=\lim_{x\to0^-}\ (2x-1)-\lim_{x\to0^-}\ \dfrac{2}{e^x-1}\\\\\lim_{x\to0^-}\ f(x)=-1-(-\infty)\\\\\boxed{\lim_{x\to0^-}\ f(x)=+\infty}[/tex]
c) Il existe une asymptote verticale d'équation x = 0
car [tex]\lim_{x\to0^-}\ f(x)=+\infty\ et\ \lim_{x\to0^+}\ f(x)=-\infty[/tex]
Il existe une asymptote oblique (L) en -oo d'équation y = 2x + 1 car
[tex]\lim_{x\to-\infty}\ [f(x)-(2x+1)]=\lim_{x\to-\infty}\ (-\dfrac{2e^x}{e^x-1})=-\dfrac{0^+}{0-1}=0^+[/tex]
Il existe une asymptote oblique (L') en +oo d'équation y = 2x - 1 car
[tex]\lim_{x\to+\infty}\ [f(x)-(2x-1)]=\lim_{x\to+\infty}\ (-\dfrac{2}{e^x-1})=[-\dfrac{2}{+\infty}]=0^-[/tex]
d) La courbe représentant f est au-dessus de la droite (L) car [tex]\lim_{x\to-\infty}\ [f(x)-(2x+1)]=0^+[/tex]
La courbe représentant f est en-dessous de la droite (L') car [tex]\lim_{x\to+\infty}\ [f(x)-(2x-1)]=0^-[/tex]
[tex]3a)\ f'(x)=[2x-1-\dfrac{2}{e^x-1}]'\\\\f'(x)=2+\dfrac{2e^x}{(e^x-1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{2(e^x-1)^2+2e^x}{(e^x-1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{2[(e^x-1)^2+e^x]}{(e^x-1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{2(e^{2x}-e^x+1)}{(e^x-1)^2}[/tex]
b) f'(x) > 0 car [tex]2[(e^x-1)^2+e^x]\ \textgreater \ 0\ \ et\ \ (e^x-1)^2\ \textgreater \ 0[/tex]
Donc la fonction f est strictement croissante sur ]-oo ; 0[ et sur ]0 ; +oo[.
4) Tableau de variation de f :
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&0&&+\infty \\f(x)&-\infty&\nearrow&+\infty|-\infty&\nearrow&+\infty\\ \end{array}[/tex]
5) Courbe et asymptotes.
Voir pièce jointe.
Votre engagement est essentiel pour nous. Continuez à partager vos expériences et vos connaissances. Créons ensemble une communauté d'apprentissage dynamique et enrichissante. FRstudy.me est toujours là pour vous aider. Revenez souvent pour plus de réponses à toutes vos questions.
