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Sagot :
Bonjour Mtumwa478
1. Etude de l'équation d'inconnue a :
a² + 9 = 2(puissance n), ou dans ce cas a appartient à N, n appartient à N, et n est plus grand ou égal à 4.
a) Montrer que si a existe, a est impaire.
Supposons que a existe.
L'équation est [tex]a^2+9=2^n[/tex]
Puisque [tex]2^n[/tex] est un nombre pair, nous déduisons que [tex]a^2+9[/tex] est pair.
D'où, puisque 9 est impair, [tex]a^2[/tex] doit être impair.
Or le carré d'un nombre pair est un nombre pair et le carré d'un nombre impair est un nombre impair.
Donc [tex]a^2[/tex] ne sera impair que si a est est impair.
Par conséquent, si a existe, a est impair.
b) En raisonnant modulo 4, montrer que l'équation proposée n'a pas de solution.
Nous savons que n ≥ 4.
[tex]2^n=2^2\times2^{n-2}\\\\2^n=4\times2^{n-2}[/tex]
D'où [tex]2^n\equiv0\ (mod\ 4)[/tex]
Puisque [tex]a^2+9=2^n[/tex], calculons les restes de [tex]a^2+9\ mod\ 4[/tex] et voyons si [tex] a^2+9\equiv0\ (mod\ 4)[/tex]
Les possibilités pour a mod 4 sont 0 ; 1 ; 2 ou 3.
[tex]a\equiv0\ (mod\ 4)\Longrightarrow a^2\equiv0\ (mod\ 4)\Longrightarrow a^2+9\equiv1\ (mod\ 4)\\\\a\equiv1\ (mod\ 4)\Longrightarrow a^2\equiv1\ (mod\ 4)\Longrightarrow a^2+9\equiv2\ (mod\ 4)\\\\a\equiv2\ (mod\ 4)\Longrightarrow a^2\equiv0\ (mod\ 4)\Longrightarrow a^2+9\equiv1\ (mod\ 4)\\\\a\equiv3\ (mod\ 4)\Longrightarrow a^2\equiv1\ (mod\ 4)\Longrightarrow a^2+9\equiv2\ (mod\ 4)[/tex]
Dans aucun de ces 4 cas, nous ne retrouvons [tex] a^2+9\equiv0\ (mod\ 4)[/tex].
Par conséquent, l'équation proposée n'a pas de solution.
1. Etude de l'équation d'inconnue a :
a² + 9 = 2(puissance n), ou dans ce cas a appartient à N, n appartient à N, et n est plus grand ou égal à 4.
a) Montrer que si a existe, a est impaire.
Supposons que a existe.
L'équation est [tex]a^2+9=2^n[/tex]
Puisque [tex]2^n[/tex] est un nombre pair, nous déduisons que [tex]a^2+9[/tex] est pair.
D'où, puisque 9 est impair, [tex]a^2[/tex] doit être impair.
Or le carré d'un nombre pair est un nombre pair et le carré d'un nombre impair est un nombre impair.
Donc [tex]a^2[/tex] ne sera impair que si a est est impair.
Par conséquent, si a existe, a est impair.
b) En raisonnant modulo 4, montrer que l'équation proposée n'a pas de solution.
Nous savons que n ≥ 4.
[tex]2^n=2^2\times2^{n-2}\\\\2^n=4\times2^{n-2}[/tex]
D'où [tex]2^n\equiv0\ (mod\ 4)[/tex]
Puisque [tex]a^2+9=2^n[/tex], calculons les restes de [tex]a^2+9\ mod\ 4[/tex] et voyons si [tex] a^2+9\equiv0\ (mod\ 4)[/tex]
Les possibilités pour a mod 4 sont 0 ; 1 ; 2 ou 3.
[tex]a\equiv0\ (mod\ 4)\Longrightarrow a^2\equiv0\ (mod\ 4)\Longrightarrow a^2+9\equiv1\ (mod\ 4)\\\\a\equiv1\ (mod\ 4)\Longrightarrow a^2\equiv1\ (mod\ 4)\Longrightarrow a^2+9\equiv2\ (mod\ 4)\\\\a\equiv2\ (mod\ 4)\Longrightarrow a^2\equiv0\ (mod\ 4)\Longrightarrow a^2+9\equiv1\ (mod\ 4)\\\\a\equiv3\ (mod\ 4)\Longrightarrow a^2\equiv1\ (mod\ 4)\Longrightarrow a^2+9\equiv2\ (mod\ 4)[/tex]
Dans aucun de ces 4 cas, nous ne retrouvons [tex] a^2+9\equiv0\ (mod\ 4)[/tex].
Par conséquent, l'équation proposée n'a pas de solution.
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