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Sagot :
Bonjour Yahcay983
1) Calculer intégrale de 1 a x de ln (t) dt par une intégration par partie
[tex] \int\limits^1_x {\ln(t)} \, dt = \int\limits^1_x {1\times\ln(t)} \, dt [/tex]
[tex]f(t)=\ln(t)\Longrightarrow f'(t)=\dfrac{1}{t}\\\\g'(t)=1\Longrightarrow g(t)=t[/tex]
[tex] \int\limits^x_1 {\ln(t)} \, dt =[t\ln(t)]\limits^x_1- \int\limits^x_1 {\dfrac{1}{t}\times t \, dt\\\\[/tex]
[tex]\int\limits^x_1 {\ln(t)} \, dt =[t\ln(t)]\limits^x_1- \int\limits^x_1 { 1} \, dt \\\\\int\limits^x_1 {\ln(t)} \, dt =[t\ln(t)]\limits^x_1- [t]\limits^x_1\\\\\int\limits^x_1 {\ln(t)} \, dt =[t\ln(t)-t]\limits^x_1\\\\\int\limits^x_1 {\ln(t)} \, dt =(x\ln(x)-x)-(1\ln(1)-1)\\\\\int\limits^x_1 {\ln(t)} \, dt =x\ln(x)-x-0+1[/tex]
[tex]\\\\\boxed{\int\limits^x_1 {\ln(t)} \, dt =x\ln(x)-x+1}[/tex]
2) En déduire que x---->xlnx-x est une primitive de ln sur ]0;+infini[.
En effet, pour tout x appartenant à l'intervalle ]0 ; +oo[
[tex][x\ln(x)-x]'=[x\ln(x)]'-x'\\\\\ [x\ln(x)-x]'=x'\times\ln(x)+x\times(ln(x))'-1\\\\\ [x\ln(x)-x]'=1\times\ln(x)+x\times\dfrac{1}{x}-1\\\\\ [x\ln(x)-x]'=\ln(x)+1-1\\\\\ \boxed{[x\ln(x)-x]'=\ln(x)}[/tex]
1) Calculer intégrale de 1 a x de ln (t) dt par une intégration par partie
[tex] \int\limits^1_x {\ln(t)} \, dt = \int\limits^1_x {1\times\ln(t)} \, dt [/tex]
[tex]f(t)=\ln(t)\Longrightarrow f'(t)=\dfrac{1}{t}\\\\g'(t)=1\Longrightarrow g(t)=t[/tex]
[tex] \int\limits^x_1 {\ln(t)} \, dt =[t\ln(t)]\limits^x_1- \int\limits^x_1 {\dfrac{1}{t}\times t \, dt\\\\[/tex]
[tex]\int\limits^x_1 {\ln(t)} \, dt =[t\ln(t)]\limits^x_1- \int\limits^x_1 { 1} \, dt \\\\\int\limits^x_1 {\ln(t)} \, dt =[t\ln(t)]\limits^x_1- [t]\limits^x_1\\\\\int\limits^x_1 {\ln(t)} \, dt =[t\ln(t)-t]\limits^x_1\\\\\int\limits^x_1 {\ln(t)} \, dt =(x\ln(x)-x)-(1\ln(1)-1)\\\\\int\limits^x_1 {\ln(t)} \, dt =x\ln(x)-x-0+1[/tex]
[tex]\\\\\boxed{\int\limits^x_1 {\ln(t)} \, dt =x\ln(x)-x+1}[/tex]
2) En déduire que x---->xlnx-x est une primitive de ln sur ]0;+infini[.
En effet, pour tout x appartenant à l'intervalle ]0 ; +oo[
[tex][x\ln(x)-x]'=[x\ln(x)]'-x'\\\\\ [x\ln(x)-x]'=x'\times\ln(x)+x\times(ln(x))'-1\\\\\ [x\ln(x)-x]'=1\times\ln(x)+x\times\dfrac{1}{x}-1\\\\\ [x\ln(x)-x]'=\ln(x)+1-1\\\\\ \boxed{[x\ln(x)-x]'=\ln(x)}[/tex]
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