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Sagot :
Bonjour Musoke183
1/ Dessiner le graphe probabiliste correspondant à cette situation.
On pose :
Y= le nombre d'acheteurs de yahourts Y
Z = le nombre d'acheteurs d'autres marques de yahourts.
Flèche allant de Z vers Y pondérée par 0,2.
Flèche allant de Y vers Z pondérée par 0,1
Boucle en Y pondérée par 0,9 (=1 - 0,1).
Boucle en Z pondérée par 0,8 (=1 - 0,2)
2/ Soit Xo=(0.3 0.7) la matrice ligne décrivant l'état initial de la population.
a/ Donner la matrice de transition (notée A) associée au graphe précédent.
[tex]A=\begin{pmatrix} 0,9& 0,1\\ 0,2 & 0,8\end{pmatrix}[/tex]
b/ Déterminer la probabilité qu'un acheteur de yahourts choisi au hasard après deux semaines de campagne publicitaire, achète des yahourts de la marque Y.
Notons par [tex]P_n[/tex] la matrice décrivant l’état de la population au bout de n semaines.
Ici, nous calculerons [tex]P_2[/tex]
[tex]P_2=P_0\times A^2\\\\P_2=\begin{pmatrix}0,3 & 0,7\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 0,9& 0,1\\ 0,2 & 0,8\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 0,9& 0,1\\ 0,2 & 0,8\end{pmatrix}\\\\\\P_2=\begin{pmatrix}0,3 & 0,7\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 0,83& 0,17\\ 0,34 & 0,66\end{pmatrix}\\\\\\P_2=\begin{pmatrix}0,487 & 0,513\end{pmatrix}[/tex]
3/ ON aexoet que pour tout entier naturel n on a:
[ 2/3 + (1/3)0.7^n 1/3 - (1/3)0.7^n]
A^n=[ ]
[2/3 - (2/3)0.7^n 1/3 + (2/3)0.7^n]
Avec l'hypothèse ci-dessus, l'entreprise peut-elle espérer atteindre une part de marché de 70%? Justifier.
[tex]P_n=P_0\times A^n\\\\P_n=\begin{pmatrix}0,3 & 0,7\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}\times0,7^n &\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\times0,7^n \\\\ \dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}\times0,7^n & \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times0,7^n\end{pmatrix}\\\\\\P_n=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}-\dfrac{1,1}{3}\times0,7^n & \dfrac{1,3}{3}+\dfrac{0,8}{3}\times0,7^n\end{pmatrix}[/tex]
Puisque nous ne sommes concernés que par les acheteurs de la marque Y, nous ne considérerons que l'élément : [tex]\dfrac{2}{3}-\dfrac{1,1}{3}\times0,7^n[/tex]
Or,
[tex]\dfrac{2}{3}-\dfrac{1,1}{3}\times0,7^n\ \textless \ \dfrac{2}{3}\ \textless \ 0,7\Longrightarrow\boxed{\dfrac{2}{3}-\dfrac{1,1}{3}\times0,7^n\ \textless \ 0,7}[/tex]
D'où, la probabilité qu’un acheteur achète des yahourts Y ne pourra jamais, atteindre 0,7
Par conséquent,
l’entreprise ne pourra jamais atteindre une part de marché de 70%.
1/ Dessiner le graphe probabiliste correspondant à cette situation.
On pose :
Y= le nombre d'acheteurs de yahourts Y
Z = le nombre d'acheteurs d'autres marques de yahourts.
Flèche allant de Z vers Y pondérée par 0,2.
Flèche allant de Y vers Z pondérée par 0,1
Boucle en Y pondérée par 0,9 (=1 - 0,1).
Boucle en Z pondérée par 0,8 (=1 - 0,2)
2/ Soit Xo=(0.3 0.7) la matrice ligne décrivant l'état initial de la population.
a/ Donner la matrice de transition (notée A) associée au graphe précédent.
[tex]A=\begin{pmatrix} 0,9& 0,1\\ 0,2 & 0,8\end{pmatrix}[/tex]
b/ Déterminer la probabilité qu'un acheteur de yahourts choisi au hasard après deux semaines de campagne publicitaire, achète des yahourts de la marque Y.
Notons par [tex]P_n[/tex] la matrice décrivant l’état de la population au bout de n semaines.
Ici, nous calculerons [tex]P_2[/tex]
[tex]P_2=P_0\times A^2\\\\P_2=\begin{pmatrix}0,3 & 0,7\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 0,9& 0,1\\ 0,2 & 0,8\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 0,9& 0,1\\ 0,2 & 0,8\end{pmatrix}\\\\\\P_2=\begin{pmatrix}0,3 & 0,7\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 0,83& 0,17\\ 0,34 & 0,66\end{pmatrix}\\\\\\P_2=\begin{pmatrix}0,487 & 0,513\end{pmatrix}[/tex]
3/ ON aexoet que pour tout entier naturel n on a:
[ 2/3 + (1/3)0.7^n 1/3 - (1/3)0.7^n]
A^n=[ ]
[2/3 - (2/3)0.7^n 1/3 + (2/3)0.7^n]
Avec l'hypothèse ci-dessus, l'entreprise peut-elle espérer atteindre une part de marché de 70%? Justifier.
[tex]P_n=P_0\times A^n\\\\P_n=\begin{pmatrix}0,3 & 0,7\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}\times0,7^n &\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\times0,7^n \\\\ \dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}\times0,7^n & \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times0,7^n\end{pmatrix}\\\\\\P_n=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}-\dfrac{1,1}{3}\times0,7^n & \dfrac{1,3}{3}+\dfrac{0,8}{3}\times0,7^n\end{pmatrix}[/tex]
Puisque nous ne sommes concernés que par les acheteurs de la marque Y, nous ne considérerons que l'élément : [tex]\dfrac{2}{3}-\dfrac{1,1}{3}\times0,7^n[/tex]
Or,
[tex]\dfrac{2}{3}-\dfrac{1,1}{3}\times0,7^n\ \textless \ \dfrac{2}{3}\ \textless \ 0,7\Longrightarrow\boxed{\dfrac{2}{3}-\dfrac{1,1}{3}\times0,7^n\ \textless \ 0,7}[/tex]
D'où, la probabilité qu’un acheteur achète des yahourts Y ne pourra jamais, atteindre 0,7
Par conséquent,
l’entreprise ne pourra jamais atteindre une part de marché de 70%.
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